5.2 Метод рунге-кутта.
Среди схем более высокого порядка аппроксимации (точности) наиболее употребительны различные варианты схем Рунге-Кутта. Рассмотрим схему Рунге-Кутта, имеющую четвертый порядок аппроксимации.
Пусть дана система дифференциальных уравнений типа (4.6). Зададимся шагом и определим систему коэффициентов [3]
,
(5.9)
(5.10)
(5.11)
Согласно методу Рунге-Кутта
(5.12)
Формула (5.12) дает четвертый порядок аппроксимации по τ, а, следовательно, большую ожидаемую точность.
Недостатком схем Рунге-Кутта является
то, что для получения
при известном
приходится четыре раза вычислять вектор
правых частей
.
Эти значения уже больше не используются,
что приводит к значительным вычислительным
затратам.
Схема Рунге-Кутта может по заданной подпрограмме автоматически уменьшить шаг или увеличить шаг на гладких участках, чтобы не производить лишней работы.
Для устойчивости схемы Рунге-Кутта на конечном отрезке достаточно, чтобы правые части системы уравнении (4.6) удовлетворяли условию Липшица
то
есть функции
правых частей
системы (4.6) имеют ограниченные производные,
где L – константа Липшица (действительное
число).
5.3. Линейные многошаговые методы. Метод адамса.
Многошаговый метод Адамса
(5.13)
где
- числовые коэффициенты,
- вектор правой части системы
дифференциальных уравнений в форме
Коши,
- вектор решения системы. При
метод Адамса является явным, так как
вектор
выражается через найденные ранее
значения.
Приведем примеры расчетных экстраполяционых формул явного метода Адамса-Башфорта для одномерного случая 2,3,4 порядка точности
(5.14)
Расчетная интерполяционная формула явного метода Адамса для решения системы дифференциальных уравнений (4.6) и удобная для программирования на ЭВМ имеет вид
(5.15)
где
-
правые части системы (4.6) при значениях
аргумента на сетке (n+3)
;
(n+2)
;
(n+1)
;
n
i=
1, 2, 3.
Из
формулы (5.15) видно, что для запуска счета
необходимо знать решение системы в
четырех точках
.
Первая точка известна из начального
условия, а остальные три вычисляют
каким-либо численным методом, можно,
например, методом Эйлера. Для этого
поступают следующим образом. Пусть
A
- шаг, с которым решают задачу методом
Адамса. Тогда первые три точки начального
отрезка определяют по схеме Эйлера
(5.4), но с шагом Э=
A/10.
Из полученных значений оставляют
;
i=
1, 2, 3 и эти значения берут в качестве
начальных для схемы Адамса (5.13). Разностная
система (5.13) аппроксимирует исходную
систему уравнений (4.6) с четвертым
порядком по .
Недостаток этой схемы - нестандартное
начало, невозможность в процессе счета
изменить шаг ,
с которым ведутся вычисления. Преимущества
этой системы заключаются в вычислительной
эффективности на один шаг.
Для устойчивости схемы Адамса также достаточно, чтобы правые части системы уравнении (4.6) удовлетворяли условию Липшица
(5.16)
8. Моделирование процесса распространения тепла