8.1. Уравнение теплопроводности и граничные условия
Основные законы, описывающие распространения тепла.
Процесс
распространения тепла в пространстве
характеризуется температурой
,
являющейся функцией координат
и времени t.
Температура измеряется в градусах
Кельвина и градусах Цельсия. Связь между
этими шкалами дается соотношением
.
Температура в градусах Кельвина всегда
положительна, что позволяет контролировать
правильность решения задачи по знаку.
Закон теплопроводности Фурье для изотропного тела
(8.1)
где
[Дж]-
количество теплоты, которое переносится
по нормали
к площадке
за
время
,
k
[
]–
теплопроводность тела в направлении
нормали,
- производная по нормали от температуры
u,
- вектор нормали. Знак минус означает,
что тепло идет против градиента
температуры, т.е. от горячего тела к
холодному.
Закон Фурье для анизотропного тела записывают в виде
,
(8.2)
где
- тензор (матрица
),
- вектор плотности теплового потока.
Если среда изотропна, то
скаляр, для анизотропной среды тензор
диагональная матрица, вектор плотности
теплового потока есть произведение
матрицы
на вектор градиента
.
Выведем уравнение теплопроводности для пространства.
Рассмотрим
некоторый объем V
ограниченный поверхностью S.
Уравнение баланса тепла для объема V
за время
имеет вид
(8.3)
где
P
- точка интегрирования,
-
элемент объема вокруг точки P,
- теплоемкость единицы объема тела,
- нормальная к S
компонента плотности теплового потока.
Это
уравнение выражает закон сохранения
энергии в объеме V
за время
.
Первое слагаемое – изменение количества
тепла за время
,
второе слагаемое – обусловлено потоком
тепла через поверхность S,
а третье слагаемое количество тепла,
выделившееся в объеме V
ограниченного поверхностью S за время
от
внутренних источников тепла.
Преобразуем второе слагаемое (поток тепла через поверхность S) с помощью формулы Остроградского-Гаусса в интеграл по объему от дивергенции вектора плотности потока
(8.4)
к виду
.
(8.5)
где
- дивергенция вектора
теплового
потока.
Стянем объем V к бесконечно малому объему около точки P , а интервал времени устремим к бесконечно малому интервалу около точки t и получим
(8.6)
Сократим
общий множитель
и
выразим дивергенцию вектора
(8.7)
Соотношение (8.6) примет вид дифференциального уравнения в частных производных
(8.8)
Если среда однородна и изотропна, то уравнение теплопроводности записывают в виде уравнения параболического типа
(8.9)
де
- положительный коэффициент.
Граничные условия.
1. Граничное условие первого рода - на поверхности тела S задано значение температуры
(8.10)
2. Граничное условие второго рода - на поверхности S задано значение плотности теплового потока
.
(8.11)
1. Граничное условие третьего рода - на поверхности S происходит теплообмен с окружающей средой
(8.12)
имеющей
температуру
,
ά – коэффициент теплообмена.
Граничные условия на границе раздела изотропных теплопроводящих сред 1 и 2
(8.13)
то есть температуры на границе и тепловые потоки через границу равны.
Отыскание новых аналитических методов решения уравнений, описывающих состояние полей, весьма сложная задача. Например, такие приемы как метод разделения переменных или метод преобразования Фурье применимы для решения линейных задач с простейшими коэффициентами. В случае же нелинейных уравнений практически нет способа отыскания их точного решения. Далее рассмотрим решение простейших задач теплопроводности методом разделения переменных.