4. Аналитическое решение и исследование свойств нелинейных колебательных систем

4.1. Постановка задачи Коши

При решении научных и инженерных задач исследователь часто сталкивается с проблемой математического описания анализируемой динамической системы. При этом не всегда удается найти закон, устанавливающий в явном виде зависимость между величинами, хотя известно, как взаимосвязаны производные этих величин по времени и по координате в виде дифференциальных уравнений. Известно много аналитических методов решения дифференциальных уравнений, когда решение записывается в виде интеграла. Но при решении практических задач интегралы часто не выражаются в элементарных функциях. В этом случае необходимо использовать численные методы решения дифференциальных уравнений.

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) первого порядка

(4.1)

с начальным условием

, (4.2)

где - некоторая заданная, в общем случае нелинейная функция двух переменных.

Сформулированная задача (4.1), (4. 2) называется начальной задачей или задачей Коши.

Несмотря на внешнюю простоту уравнения (4.1), решить его аналитически, т.е. найти общее решение с тем, чтобы затем выделить из него интегральную кривую , проходящую через заданную точку

(t₀, u₀), удается лишь для некоторых специальных типов таких уравнений. Поэтому приходится делать ставку на приближенные способы решения начальных задач для ОДУ, которые можно разделить на 3 группы:

1. приближенно-аналитические методы;

2. графические или машинно-графические методы;

3. численные методы.

К методам первой группы относят такие, которые позволяют находить приближенные решения сразу в виде некоторой функции .

Например, широко известен метод степенных рядов, в одну из реализаций которого заложено представление искомой функции отрезком ряда Тейлора, где коэффициенты, содержащие производные высших порядков, находят последовательным дифференцированием самого уравнения.

Название графические методы говорит о приближенном представлении искомого решения на промежутке (0 T) в виде графика, который можно строить по тем или иным правилам, связанным с графическим толкованием данной задачи.

Наиболее значимыми в настоящее время, характеризуемое быстрым развитием цифровой вычислительной техники, являются численные методы решения систем дифференциальных уравнений, предполагающие получение числовой таблицы приближенных значений искомого вектора решения на некоторой сетке (рис.1) значений аргумента t.

Задачи для ОДУ можно разделить на два типа:

1. Задачи Коши;

2. Краевые задачи.

4.2. Методы решения задачи Коши и краевых задач. Прежде всего, рассмотрим один приближенно-аналитический способ

решения задачи Коши (4.1)-(4.2), в котором искомое решение в окрестности

является пределом некоторой последовательности получаемых определенным образом функций

Проинтегрируем левую и правую части уравнения (4.1) в границах от

до t

Отсюда получим

(4.3)

Таким образом, дифференциальное уравнение (4.1) с начальным условием (4.2) преобразовали в интегральное уравнение.

Полученное уравнение имеет вид задачи о неподвижной точке: , которая решается методом итераций.

Формально к этой задаче также можно применить метод простых итераций

, где в качестве начального значения можно взять начальное условие (4.2) .

Тогда

далее

И так далее, пока не выполнится условие вида:

где - заданное значение погрешности.

Этот приближенно-аналитический метод называется методом последовательных приближений или методом Пикара

(4.4)

Теорема. Если в некоторой области G такой, что и

, то , h = const такая, что на отрезке последовательность функций , определяемая методом Пикара, равномерно сходится к решению задачи Коши (4.1)-(4.2) и справедлива оценка погрешности

Пример решения задачи Коши методом Пикара. Уравнение

Решение уравнения аналитически

Воспользуемся методом Пикара

При числе итераций n=0,1,2,3

Выполняя далее итерации, получим бесконечный ряд, который сходится к функции найденной выше.

Краевые задачи рассмотрим на примере линейного ОДУ второго порядка, который наиболее часто встречается в физических задачах:

(4.5)

и краевые условия

Краевые условия определяют так называемую третью или смешанную краевую задачу для уравнения (4.5), содержащую в себе первую (когда ) или вторую (когда ) краевые задачи.

Как известно, точное (аналитическое) решение краевых задач вызывает еще большие трудности, чем решение задачи Коши. Отсюда - повышенный интерес и большое разнообразие приближенных методов решения.

Классификация приближенных методов решения краевых задач для ОДУ:

1. методы сведения к задаче Коши (метод пристрелки, метод дифференциальной прогонки, метод редукции);

2. метод конечных разностей;

3. метод балансов или интегро-интерполяционный метод;

4. метод коллокации;

1. проекционные методы (моментов, Галеркина);

2. вариационные методы (наименьших квадратов, Ритца);

1. проекционно-разностные методы (метод конечных элементов). Методы 4-6 приводят к приближенному решению в виде функции

заданного семейства (линейной комбинации некоторой системы линейно независимых функций).

Методы 1-3 и 7 генерируют таблицы численных значений приближенного решения.

Методы решения 2, 5,7 будут подробно рассмотрены ниже при рассмотрении одномерной задачи теплопроводности.