9.2. . Численное моделирование нестационарных краевых задач

описывающих распространение тепла

Рассмотрим одномерную нестационарную смешанную краевую задачу

(9,15)

где L - дифференциальный оператор типа, - функции времени.

.

Построим по схеме (рис.5) аппроксимирующий разностный оператор

(9.16)

где оператор правой разности по времени t, - операторы правой, левой и центральной разности по координате x.

На прямоугольной сетке (рис.4) разностное уравнение (9.16) будет иметь вид

(9.17)

Порядок аппроксимации по времени t первый, а по координате x второй. Правая часть уравнения (9.15) аппроксимируется по времени на слое . Такие разностные схемы принято называть явными.

Изобразим графически точки, которые связывает разностная схема (9.17)

Рис.6. Шаблон для явной разностной схемы

Это графическое изображение называют шаблоном. По горизонтальной оси откладывают точки оси x, а по вертикали точки оси времени.

Решение задачи Коши на оси уравнения (9.17) просто получается в явном виде с помощью реккурентного соотношения

(9.18)

Положим в выражении (9.18) и получим

Данное выражение позволяет, используя начальное условие найти решение разностного уравнения (9.17) на первом слое по времени

Положим в выражении (9.18) и получим

где решение , стоящее в правой части данного выражения было получено выше.

Продолжая дальше аналогично, мы получаем решение уравнения (9.17) на любом слое n по времени.

Разностное уравнение (9.16) можно записать в виде

(9.19)

Порядок аппроксимации по времени t первый, а по координате x второй. Правая часть уравнения (9.15) аппроксимируется по времени на слое . Такие разностные схемы принято называть неявными.

Изобразим графически точки, которые связывает разностная схема (9.18)

Рис.7. Шаблон для неявной разностной схемы

Аппроксимируем краевые условия из (9.15) на слое с первым порядком по h при

(9.20)

Здесь h - шаг сетки по x,  - шаг сетки по времени, Mh =l.

Запишем разностную схему в реккурентном виде по времени

(9.21)

Запишем левое и правое краевые условия на слое в виде

(9.22)

Перепишем реккурентную формулу (9.21) в свернутом виде

(9.23)

где

(9.24)

Положим в реккурентной формуле (9.23) n = 0 и получим

(9.25)

Поскольку - это начальное условие, то для нахождения мы получаем разностную краевую задачу, рассмотренную в предыдущем разделе только с другой правой частью и коэффициентами.

Алгоритм прогонки для решения уравнения (9.25) имеет вид [3].

Реккурентные соотношения для прогоночных коэффициентов

. (9.26)

Стартовое значение прогоночных коэффициентов

; (9.27)

Решение задачи (9.19), (9.20) при n = 0, то есть ищем по формуле

(9.28)

При m = M формула (52) и краевое условие (46) позволяют определить , далее считаем по (9.28), начиная с m = M - 1.

Проведя аналогичный счет при n = 1, 2, 3 ... N мы получили решение нестационарной краевой задачи (9.19), (9.20).

Прогоночные коэффициенты в этом случае

При если , то решение краевой нестационарной задачи (9.19), (9.20) должно стремиться к решению стационарной задачи (9.6), (9.8) и (9.9).