4.3. Аналитическое исследование качественного поведения задачи Коши

Рассмотрим пример аналитического исследования качественных свойств нелинейной колебательной системы. Уравнения движения записаны в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка в форме Коши. В левой части находятся первые производные (скорости изменения вектора решения ), а в правой нелинейные функции от компонент вектора

(4.6)

где - вектор решений системы, - вектор нелинейных правых частей, зависящий от решений, времени и вектора параметров .

Цель аналитического исследования определить условия возникновения колебаний в системе (периодическое решение) и параметров этого движения.

Для простоты будем рассматривать системы уравнений с нулевой неподвижной точкой. Неподвижной точкой системы уравнений (4.1) называется такое значение решений , при котором или

(4.7)

В нашем случае .

Система (4.6) при данном векторе может не иметь периодических колебательных решений. Условия, при которых система (4.6) может иметь периодическое решение, даются теоремой Хопфа.

Теорема. Пусть

1) =0 при всех из открытого интервала, содержащего 0 и - изолированная неподвижная точка системы (4.6).

2) аналитична по и в некоторой окрестности точки (0,0).

3) Матрица имеет пару комплексно сопряженных собственных чисел и таких, что

(4.8)

где

4) Остальные собственные числа имеют строго отрицательные вещественные части, тогда система (4.1) имеет семейство периодических решений с периодом

(4.9)

Матрица - Якоби составлена из правых частей системы (4.1)

(4.10)

Уравнение для нахождения соответственных чисел матрицы , где I - единичная матрица, или

(4.11)

При раскрытии определителя (4.11) для нахождения собственных чисел λ получается кубическое уравнение. Кубическое уравнение можно решить по формуле Кардано.

Для иллюстрации приведем формулу Кардано. Формула Кардано для нахождения корней кубического уравнения вида .

Сделаем замену переменной , получим новое уравнение

, где , .

Корни данного уравнения будут следующие:

, (4.12)

где , , .

Приведенный пример аналитического исследования колебательных систем, показывает достаточно ограниченные возможности аналитических методов, так как оказывается возможным получить только некоторые качественные результаты (необходимые условия возникновения колебаний) без возможности получения самого решения (формы колебаний).

5. Исследование нелинейных колебательных систем с помощью вычислительного эксперимента

5.1. Метод эйлера

Рассмотрим первый и самый простой способ получения решения на ЭВМ системы (4.6) – метод Эйлера. Выберем на отрезке (0, Т) сетку точек t_j= h, где n= 0, 1, 2, 3, … M, где - шаг сетки.

Рассмотрим способ построения простейшей употребительной разностной схемы - схемы Эйлера. Заменим производные в левой части системы (4.6) правыми разностями по времени

(5.1)

Перепишем полученную разностную схему (5.1) в реккурентном виде

(5.2)

Перейдем от непрерывного аргумента времени t к дискретному времени n, где n=0, 1, 2, … , T– время счета.

(5.3)

или в упрощенной системе записи с помощью индексов

(5.4)

Это и есть разностная схема Эйлера. По известным начальным данным она позволяет вычислять решение исходной дифференциальной задачи по шагам.

Схема Эйлера применяется только для разгона точных схем, например, схем Адамса, Милна, но удобна для понимания процедуры построения разностных схем, программирования и счета в учебном процессе.

Исследуем устойчивость схемы Эйлера на примере нелинейного одномерного процесса. Схема Эйлера и начальное условие

, (5.5)

Возмущенная задача

(5.6)

Разность удовлетворяет уравнению и начальному условию

(5.7)

Разложим разность в ряд Тейлора по степеням , где - некоторое число, лежащее между и , .

Подставив ряд в (5.7) получим

(5.8)

Проведем оценку

где - норма возмущения правой части.

Порядок аппроксимации схемой Эйлера системы (5.1) равен единице, то есть точность схемы мала и кроме того погрешность в этой схеме растет по экспоненте с номером шага.