10. Исследование устойчивости разностных схем

10.1. Спектральный метод исследования устойчивости задачи Коши

Мы знаем, что для сходимости необходимо, чтобы разностная схема аппроксимировала дифференциальное уравнение и краевые условия и была устойчива. Рассмотрим необходимое условие устойчивости разностных схем.

Рассмотрим применение спектрального метода исследования устойчивости задачи Коши на примере разностной схемы с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим разностную задачу Коши на оси (явную схему)

(10.1)

Аппроксимация производной по x в схеме (10.1) осуществляется на слое n.

Условие устойчивости линейной задачи Коши для однородного уравнения имеет вид , оператор и правую часть (10.1) представим в векторном виде

, (10.2)

Тогда условие устойчивости примет вид , то есть устойчивость зависит от правой части и от начального условия.

Рассмотрим зависимость устойчивости только от начального условия. Пусть . Решим разностное уравнение (10.1) методом разделения переменных.

Решение задачи (10.1) будем искать в виде интеграла

(10.2)

где - неизвестная, интегрируемая с квадратом весовая функция.

Подставим это выражение в (10.1) и, проведя преобразования, получим под интегралом уравнение нахождения для параметра (показателя роста)

(10.3)

Используя формулу Эйлера , упростим выражение (10.3)

(10.4)

Отсюда показатель роста

(10.5)

Если модуль показателя роста меньше единицы, то решение уравнения (10.1) не растет во времени, что соответствует физической задаче распространения тепла и устойчивости решения. Условие выполняется для любых при условии , то есть схема (10.2) условно устойчива.

Найдем неизвестную функцию . Для ее определения воспользуемся начальным условием

Отсюда используя, свойство рядов Фурье получаем, что функция

(10.6)

позволяет удовлетворить начальному условию.

Между функцией и коэффициентами ее ряда Фурье существует связь

(10.7)

называемая равенством Парсеваля.

Введем две нормы решения и норму начального условия

(10.8)

Пусть , тогда норма

, (10.9)

а так как , то устойчивость доказана.

Рассмотрим следующую разностную схему для задачи Коши на оси (неявную схему)

(10.10)

Аппроксимация второй производной по x в (10.10) осуществляется на слое n+1.

Если искать решение задачи в виде (10.2) то получим выражение для показателя роста

(10.11)

Из (10.11) следует, что при любых τ и h разностная схема, безусловно, устойчива, так как всегда .

Условие обеспечивает устойчивость разностной схемы при любом начальном условии. Поэтому исследование устойчивости разностной схемы проводят при помощи специального начального условия . При этом решение разностных задач (10.1), (10.10) имеет простой вид или

, (10.12)

то есть показатель роста при умножении переводит решение со слоя n на слой n+1.

Условие на показатель роста называют необходимым спектральным условием устойчивости Неймана.