3. Построение и исследование разностных схем для численного решения дифференциальных

УРАВНЕНИЙ

1. Сетки и сеточные функции.

Отыскание новых аналитических методов решения уравнений, описывающих состояние полей, весьма сложная задача. Точные решения для простейших случаев уже получены. При отыскании решений дифференциальных уравнений, более сложные физические системы, нужно думать, каким методом это делать. Например, такие приемы как метод разделения переменных или метод преобразования Фурье применимы для решения линейных задач с простейшими коэффициентами. В случае же нелинейных уравнений практически нет способа отыскания их точного решения. Сложность рассматриваемых областей, в которых отыскивается решение, нелинейность функциональных зависимостей делают перспективным конечно-разностный метод.

Идея конечно-разностного метода состоит в том, что дифференциальное уравнение заменяют системой алгебраических уравнений.

Составление разностной схемы начинается с двух первых шагов, замены области непрерывного изменения аргумента областью дискретного изменения и замены дифференциального оператора некоторым разностным оператором.

Первый шаг необходим потому, что при численном методе мы не можем воспроизвести решение для всех значений аргумента, хотя можем это сделать для его любого значения. Поэтому во всей области выбирают некоторое конечное дискретное множество точек, называемое сеткой. Только в этом множестве точек и отыскивают решение. Отдельные точки множества называют узлами сетки.

На рисунках ниже приведены примеры сеток.

Рис.1. Равномерная сетка на отрезке.

Равномерная сетка на отрезке, где - узлы сетки, h - шаг сетки.

Равномерная прямоугольная сетка образованной осью x и осью времени t,

Рис.2. Элемент прямоугольной сетки.

где x_m= mh и t_n= n  - координаты узлов сетки, m=0,1,2,3,... M; n =0,1,2,3, ...N , h = l/M - шаг сетки по x, - шаг сетки по t, T – интервал времени на котором рассматривается задача.

Пусть на плоскости x и y дана область G сложной формы с границей Г и вся плоскость накрыта равномерной двумерной сеткой. Узлы сетки, принадлежащие G – это внутренние узлы, а принадлежащие Г - это граничные узлы Г_h. Таким образом, область заменим сеткой содержащей множество точек находящихся в узлах сетки и множество точек образованных пересечением границы Г и линиями сетки.

Функции, определенные в узлах сетки называют сеточными функциями. Обозначения u(x_i) или с помощью индекса u_i, или с помощью двух индексов , u(x_p, y_m) или u_pm . Заметим, что индексы, относящиеся ко времени принято ставить вверху.

Рис.3. Сетка в произвольной двумерной области на плоскости.

Наша цель состоит в том, чтобы получить решение задачи в области сеточных функций, в каком-то смысле близкое к решению в области непрерывных функций. Основной интерес для численных методов решения, которыми являются разностные методы, представляет оценка близости сеточной и непрерывных функций. Для этого необходимо научиться правильно и достаточно точно аппроксимировать дифференциальные операторы и обеспечить устойчивость вычислительного процесса.