4.1. Парадокс Кондорсе17.

Для того, чтобы аккуратно сформулировать последующие важные утверждения, введем некоторые обозначения.

Предпочтения агентов будем представлять квазиупорядочением Pⁱ, i=1,…,I. Пусть (A)  класс возможных упорядочений для каждого агента, где A  множество возможных состояний общества. Прежде всего отметим, что требование коллективной рациональности неявно присутствует в определении функции общественного благосостояния. В самом деле, определение требует, чтобы общественный выбор был представлен квазиупорядочением (а не бинарным отношением иной структуры). Еще в 1785г. маркиз Кондорсе заметил, что правило простого большинства (обозначим MS  simple majority rule) не определяет функцию общественного благосостояния, так как не всегда приводит к транзитивному бинарному отношению.

Рассмотрим пример трех агентов и три состояния общества со следующим профилем предпочтений относительно этих состояний

a1	P1	a2	P1	a3
a1	P2	a2	P2	a3
a1	P3	a2	P3	a3

Тогда выполняется a1 MS a2, a2 MS a3, a3 MS a1, где ai MS aj означает, что ai побеждает aj при голосовании простым большинством.

Таким образом, возникает цикл при голосовании. Построенный для альтернатив a₁, a₂, a₃ «порядок» не может описывать предпочтения общества и задавать функцию общественного благосостояния, поскольку результат не является транзитивным.

Какая из альтернатив будет в итоге выбрана при такой процедуре, зависит от «повестки дня», то есть последовательности постановки вопросов на голосование. Если сначала сравниваются первая и вторая альтернативы, а потом выигравшая и третья, то победителем будет вторая. Если же сначала предлагается сравнить вторую и третью альтернативы, а потом выбрать из первой и победителя, то первая альтернатива побеждает при таком двухшаговом попарном голосовании.

Понятно, что если для набора альтернатив, относительно которых нужно принять решение, выполняется указанное свойство, то процедура голосования по правилу простого большинства в качестве механизма принятия решения не в состоянии адекватно отразить предпочтения коллектива в целом. Если решение о повестке для будет приниматься одним лицом, то выберет такую последовательность постановки вопросов на голосование, которая выгодна ему лично, в ином случае каждый осознает, какая повестка в его интересах и относительно вариантов повестки дня сложатся такие же предпочтения, как и относительно исходных альтернатив.

4.2. Теорема Эрроу о невозможности. Анализ предпосылок теоремы Эрроу.

Эрроу (1951) обобщил этот результат, показав, что не существует социального ранжирования, удовлетворяющего множеству условий, рассматриваемых как обоснованные. Кратко опишем эти условия.

• Социальное ранжирование удовлетворяет предпосылке универсальности области определения (UD), если (A) есть класс всех упорядочений на A. Предпосылка универсальности области определения не позволяет устанавливать ограничения на индивидуальные предпочтения. Мы ищем способ построения социального ранжирования, которое было бы общезначимым для любых групп агентов.

• Социальное ранжирование удовлетворяет принципу Парето (PP), если состояние общества a₁, предпочитаемое всеми агентами состоянию a2, общественное ранжирование оценивает выше, чем a₂. Формально,  P=(P¹,…,P^I)[(A)]^I и a₁A, a₂A: a₁Pⁱa₂, i=1,…,I, a₁F(P)a₂.

Это предположение безобидно, если мы принимаем, что общественный выбор должен основываться на выборе индивидуумов.

• Социальное ранжирование удовлетворяет предпосылке о независимости посторонних альтернатив (IIA), если ранжирование двух состояний общества общественным предупорядочением зависит от ранжирования агентами только этих состояний. Формально, a_1, a₂A,  P=(P¹,…,P^I)[(A)]^I и  P’=(P’¹,…,P’^I)[(A)]^I : (a₁Pⁱa₂  a₁P’ⁱa₂ i=1,…,I),  (a₁F(P)a₂  a₁F(P’)a₂). Предпосылка о независимости посторонних альтернатив является формальным способом исключить любую возможность того, что социальное ранжирование может принимать во внимание интенсивность предпочтений. В самом деле, два профиля предпочтений, которые представляют одно и то же индивидуальное упорядочение, должны приводить к одинаковому общественному упорядочению.

• Социальное ранжирование является диктаторским, если существует агент, чьи предпочтения определяют общественное упорядочение. То есть i{1,…,I} является диктатором   P=(P¹,…,P^I)[(A)]^I , F(P¹,…,P^I) =Pⁱ.

Теорема 1 (Эрроу, 1951)¹⁸ любое общественное упорядочение, которое удовлетворяет предпосылкам PP, IIA и UD является диктаторским, если I2 и A3.

Доказательство.

Определение. Назовем множество агентов S почти решающим для упорядоченной пары состояний (a₁,a₂), если  P=(P¹,…,P^I)[(A)]^I , a₁Pⁱa₂, iS и a₂P^ja₁, j S a₁F(P)a₂.

Определение. Назовем множество агентов S решающим для упорядоченной пары состояний (a₁,a₂), если  P=(P¹,…,P^I)[(A)]^I , a₁Pⁱa₂, iS a₁F(P)a₂. [для краткости обозначим a₁Pa₂].

По определению D^j(a₁,a₂), если j почти решающий для (a₁,a₂), (a₁,a₂), если j решающий для (a₁,a₂)

Лемма 1. При предпосылках PP,UD и IIA найдется агент, который является почти решающим для упорядоченной пары состояний общества.

Доказательство.

Для любой пары (a₁,a₂) множество всех агентов решающее (и, следовательно, почти решающее) в силу PP.

Рассмотрим наименьшее множество агентов, обозначенное S, которое является почти решающим для некоторой пары состояний (образованное путем перебора всех пар).

Если состоит из одного агента, лемма доказана.

Обозначим пару, для которой S является почти решающим через (a₁,a₂).

Если S содержит более одного агента, рассмотрим разбиение S, S₁S₂, где S₁ состоит из одного агента. Пусть S₃  множество агентов, не входящих в S.

Рассмотрим профиль (существующий в силу UD):

Для iS₁ a₁Pⁱa₂Pⁱa₃

Для jS₂ a₃P^ja₁P^ja₂

Для kS₁ a₂P^ka₃P^ka₁.

Так как S почти решающее для (a₁,a₂) и так как a₁ предпочитается a₂ любым агентом из S, и так как любой агент, не входящий в S, предпочитает противоположное, то

a₁Pa₂.

Если a₃Pa₂, то S₂ есть почти решающая группа для через (a₃,a₂) в силу IIA, что противоречит определению S.

Если, напротив, a₂Pa₃ или a₂a₃ , то требование транзитивности для P влечет, что a₁Pa₃; тогда S₁ почти решающая группа для (a₁,a₃) в силу IIA, что противоречит определению S, что и требовалось доказать.

Лемма 2. Если при предпосылках PP,UD и IIA существует агент j, который является почти решающим для упорядоченной пары состояний общества, j должен быть диктатором.

Доказательство.

Утверждение 1. (statement 1)

Пусть (a₁,a₂), a₁A, a₂A, такая пара состояний общества, для которой j является почти решающим. Рассмотрим тройку состояний общества (a₁,a_2, a₃). Тогда j является решающим для (a₁, a₃) и (a₃,a₂).

Выберем такой профиль предпочтений, что

a₁P^ja₂P^ja₃

a₂Pⁱa₁ и a₂Pⁱa₃ ij.

Так как j является почти решающим для (a₁,a₂), то a₁Pa₂.

Из PP следует, что a₂P a₃.

В силу транзитивности, a₁P a₃.

Таким образом, a₁P a₃ независимо от предпочтений агентов ij относительно (a₁, a₃).

При этом a₁P a₃ не зависит от ранжирования (a₁,a₂) и (a_2, a₃) в силу IIA.

Следовательно, a₁P a₃ вне зависимости от предпочтений агентов ij.

То есть является решающим для (a₁, a₃): .

Аналогично, поменяв роли (a₁,a₂) и (a₃, a₁) и выбрав подходящий профиль в силу UD, можно показать, что j  решающий для (a₃, a₂), то есть .

Иначе говоря, для трех состояний общества, a_,a_, a_, мы имеем:

.

При этом по определению

Утверждение 2. Пусть (a₁,a₂), a₁A, a₂A, такая пара состояний общества, для которой j является почти решающим. Рассмотрим тройку состояний общества (a₁,a_2, a₃). Тогда j является решающим для всех упорядоченных пар входящих в тройку состояний общества.

.

Таким образом, агент является решающим для любого множества из трех состояний общества, содержащего (a₁,a₂).

Утверждение 3.

Агент j, являющийся почти решающим для пары (a₁,a₂), и, следовательно, по утверждению 2 являющийся решающим для любой тройки состояний общества, содержащей (a₁,a₂), является решающим для любой пары (u,v).

Рассмотрим множество состояний общества, большее, чем (a₁,a₂) и пусть(u,v) будет произвольная пара состояний общества из этого множества.

Тогда:

1. (u,v) совпадает с (a₁,a₂), в этом случае справедливо и ;

2. u равно a₁, а v не равно a₂ (или любой другой подобный случай). Выберем тройку (u=a₁,a₂,v). ;

3. как u, так и v отлично и от a₁, и от a₂, тогда осуществим следующую процедуру. Рассмотрим сначала тройку (a₁,a₂, u). . Затем рассмотрим тройку (a₁, u,v ). Следовательно, для любой упорядоченной пары (u,v).

Следовательно, является диктатором.

Лемма 2 доказана.

Из лемм 1 и 2 следует доказательство теоремы Эрроу.

Часто результат теоремы Эрроу воспринимается как необходимость наличия диктатора для осуществления общественного выбора. На самом деле это не является в строгом смысле выводом из теоремы. Она утверждает только невозможность одновременного выполнения всех предпосылок, в том числе и отсутствия диктатора. Поскольку общественный выбор все же осуществляется, это означает, что какие-либо из предпосылок нарушаются.

Некоторые из предпосылок теоремы Эрроу можно в определенном смысле назвать слишком сильными.

Так, предпосылка универсальность области определения, требует принятия в рассмотрение при применении процедуры общественного выбора любых возможных профилей предпочтений экономических агентов. Если ограничить это требование, то не будут выполнены обе леммы, поскольку в них несколько раз выбираются определенным образом профили предпочтений. Можно ли отказаться от этой предпосылки? В принципе, если мы откажемся от нее, то может сложиться такой профиль предпочтений, что или не будет определена на нем процедура, или она будет осуществима, но с нарушением других предпосылок. На практике, тем не менее, такое ограничение встречается в разных формах. Часто принимающие решение группы складываются по интересам. В этом случае сам доступ в группу требует определенных ограничений на индивидуальные предпочтения, а, значит, и на профиль предпочтений. Общество часто ограничивает право принимать участие в голосовании некоторых лиц (бывают ограничения возрастные, по дееспособности, в соответствии с прошлыми поступками лица). Такое ограничение, по-видимому, не является в определенном смысле справедливым, кроме того, оно само является результатом общественного выбора, поскольку для его принятия уже некоторым образом формулируются некоторые оценочные суждения, то есть предполагаются известными общественные предпочтения в отношении этого вопроса. Но такого рода ограничения складываются в разных обществах.

Условие независимости от посторонних альтернатив также можно рассматривать как довольно сильное допущение. Причем принятие его в виде требования к процедуре далеко не всеми может быть оценено как справедливое. Предположим, что в результате применения процедуры выбирается альтернатива A и отвергается B. При этом кто-то предпочитает А, кто-то В, но для них это выбор менее важен, чем, скажем, между С и D. Если происходит изменение предпочтений части группы таким образом, что осуществление альтернативы B становится для него чрезвычайно важным, он ее ценит выше любых иных альтернатив, готов, в частности, уступить и в выборе между С и D, то при процедуре, удовлетворяющей независимости от посторонних альтернатив, это изменение не будет учтено. Однако такое правило может быть важным с точки зрения стабильности общественного выбора.

¹⁹Однако Литл высказал сомнения в том, что условие независимости от посторонних альтернатив вообще требуется, поскольку в традиционной экономике благосостояния рассматриваются модели с постоянными предпочтениями. Ответом был довод Эрроу, что, хотя в числе традиционных предпосылок экономической теории и постулируется постоянство предпочтений, но в действительности они меняются, поэтому необходимо налагать условие независимости от посторонних альтернатив.

Интересно, что даже вопрос о транзитивности результата процедуры выбора не яволяется бесспорным: Бьюкенен задавался вопросом, должно ли ранжирование, возникающее в результате коллективного выбора удовлетворять условию транзитивности, применяемому к индивидуальным предпочтениям.

Отсутствие правила, удовлетворяющего всем требованиям, означает, что нет способа выбрать процедуру, которая могла бы заменить критерии благосостояния, такие как критерий Парето.