3.1.2. Система массового обслуживания с отказом. Одноканальная система.

Пусть на обслуживание поступает пуассоновский поток заявок. Пуассоновским называют случайный поток событий, у которого частота появления событий (интенсивность потока) оказывается постоянной и каждое событие появляется независимо от того, что и когда произошло до него. Обслуживание каждой заявки длится случайное время, имеющее экспоненциальное распределение. Это распределение характеризуется тем, что вероятность безотказной работы зависит только от длительности рассматриваемого интервала работы и не зависит от момента начала работы.

Одноканальная система может находиться в одном из двух возможных состояний:

S₀ -система свободна;

S₁ -система занята обслуживанием заявки.

Граф переходов из одного состояния в другое и обратно:

µ

λ

Рис. 3.2.

Здесь " λ "-интенсивность входного потока, т.е. среднее число заявок, поступающих на обслуживание в единицу времени, а " μ "-интенснвностъ обслуживания, т.е. количество заявок обслуженных в единицу времени.

Используя статистические методы для нахождения характеристик эффективности работы системы, получим вероятность того, что система свободна:

Р₀=μ/( λ + μ ) (3.1)

Отметим, что Р₀ является, относительной пропускной способностью системы, т.е. доля потока. пропускаемого системой в момент време­ни.

Очевидно, что среднее время свободного состояния системы:

Т=1/λ (3.2)

Средняя длительность периода занятости:

т=1/ μ (3.3)

Абсолютная пропускная способность:

А=λР₀ (3.4)

Вероятность отказа любой очередной заявке:

P₁=l-Р_о (3.5)

Многоканальная система. При тех же исходных данных рассмотрим работу системы массового обслуживания с n-каналами. Для многоканальной системы с отказами граф переходов представлен на рис.3.

μ 2 μ 3 μ n μ

……

λ λ λ λ

Рис. 3.3.

Многоканальная система может находится в одном из н возмож­ных состояний:

S_y – система свободна:

S₁ - один канал системы занят обслуживанием заявки.

S₂ – два канала системы заняты обслуживанием двух заявок.

S_n – n каналов системы заняты обслуживанием n заявок.

Интенсивность обслуживания возрастает пропорционально количеству загруженных каналов.

Впервые процесс обработки пуассоновского потока заявок многоканальной системой с отказами изучил датский математик Эрланг. В его честь названы формулы определяющие вероятность нахождения системы в свободном состоянии:

P₀=(1+p/1!+p²/2!+…+pⁿ/n!)^-1 (3.6)

где p= λ / μ – коэффициент нагрузки канала, т. е. среднее число заявок. поступивших в систему за время обслуживания одной заявки.

Вероятность нахождения системы в состоянии, когда к-каналов заняты, а остальные свободны:

P_k=(p^k/k!) Po (3.7)

Заявка получает отказ, когда все каналы заняты. Вероятность отказа:

P_отк=(pⁿ/n!)Po (3.8)

Абсолютная пропускная способность многоканальной системы с отказами:

А= λ (1-Р_отк) (3.9)

Важной характеристикой такой системы является среднее число занятых каналов, которое вычисляется по формуле:

М_к=р(1-Р_отк) (3.1)