3.2.2. Метод статистических испытаний

В основе метода статистических испытаний (метода Монте – Карло) лежит моделирование на ЭВМ статистического эксперимента и регистрации числовых характеристик, получаемых в эксперименте.

Результаты моделирования, полученные при воспроизведении единственной реализации процесса, в силу действия случайных факторов не смогут объективно характеризовать изучаемый объект. Поэтому искомые величины обычно определяют как среднее значение по данным большого числа реализаций процесса. Если число реализаций, используемых

Для оценки некоторых величин, достаточно велико, то в силу закона больших чисел полученные оценки приобретают статистическую устойчивость и с достаточной для практики точностью могут быть приняты в качестве приближенных значений искомых величин.

Для сложных систем и большого количества реализаций, воспроизводимых при моделировании, объем информации о состоянии системы может быть настолько значительным, что ее запоминание, обработка и последующий анализ могут оказаться чрезмерно трудоемкими. Поэтому необходимо таким образом организовать фиксацию и обработку результатов моделирования, чтобы оценки для искомых величин формировались постепенно по ходу моделирования, без специального запоминания всей информации о состоянии. Рассмотрим приемы формирования оценок для искомых величин.

Пусть искомой величиной является вероятность некоторого события А. В качестве оценки р1(А) для вероятности р(А) следует использовать частоту наступления события при некотором количестве испытаний.

р1(А)=m/n,

где n - число опытов; m - количество наступлений события А в n опытах.

Для оценки среднего значения случайной величины Х будем накапливать сумму возможных значений случайной величины, которые она принимает при различных реализациях процесса. _n

m_x=(1/n) ∑x_k

^k=1

Как известно, оценкой s² дисперсии случайной величины Х может служить:

_n

S²=(1/(n-1)) ∑(x_k – m_x)²

^k=1

Непосредственное вычисление S² по этой формуле неудобно, так как m_x изменяется в процессе накопления значений x_k , что требует запоминания всех n значений x_k. Поэтому для вычисления оценки S² удобнее пользоваться формулой

_{n n}

S²=(1/(n-1)) ∑x_k² – (1/n(n-1))(Σx_k)²

^{k=1 k=1}

При оценке корреляционного момента K_xy для случайных величин Х и У возможными значениями употребляются выражение.

_n

K_xy=(1/(n-1)) ∑(x_k – m_x) (y-m_y)

^k=1

Его можно преобразовать к виду:

_{n n}

K_xy=(1/(n-1)) ∑x_ky_k – (1/n(n-1))Σx_kΣx_k)²,

^{k=1 k=1}

Требующему запоминания трех величин: Σx_k, Σy_k, Σx_ky_k

Корреляционный момент характеризует не только зависимость величин, но и их рассеивание. Поэтому для характеристики связи между величинами в чистом виде переходят к безразмерной характеристике – коэффициенту корреляции.

r_xy=K_xy/(s_xs_y)

Где s_x ,s_y - средние квадратические отклонения величин Х и У.

Для обеспечения статистической устойчивости соответствующие оценки вычисляются как средние по большому количеству реализаций. Выбор числа реализаций зависит от того, какие требования предъявляются к результатам моделирования.

Пусть в качестве оценки для некоторого параметра b , оцениваемого по результатам моделирования x_k , выбирается величина m_x , являющаяся функцией от x_k . В силу случайных причин m_x в общем виде будет отличаться от b . Это отличие будет характеризоваться точностью оценки ( доверительным интервалом).

|b-m_x| <ε

А вероятность α того, что неравенство выполняется, достоверностью ее.

α =p(|b-m_x| <ε)

Воспользуемся этим соотношением для определения точности результатов, получаемых методом статистических испытаний.

Пусть целью моделирования будет вычисление вероятности p появления некоторого случайного события А, определяемого состояниями исследуемой системы. В каждой и n реализаций процесса на модели рассматриваемое событие может наступить или не наступить; другими словами количество ξ наступлений события А является случайной величиной, принимающей значение x₁=1 с вероятностью p , и x₂=0 с вероятностью (1-p) .

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины ξ равны

M(ξ)=x₁p+x₂(1-p)

D(ξ)=[x₁- M(ξ)]²p+[x₂- M(ξ)]²(1-p)=p(1-p)

В качестве оценки для искомой вероятности p принимается частота m/n наступления события А при n реализациях. Частоту m/n можно представить в виде

_n

m/n=(1/n) ∑ ξ _k

^k=1

Где ξ_k - количество наступлений события А в реализации с номером k , (осреднение по реализациям).

Тогда математическое ожидание и дисперсию частоты m/n

M(m/n)=p, D(m/n)=p(1-p)/n

По центральной предельной теореме частота m/n при достаточно больших n имеет распределение, близкое к нормальному. Поэтому для каждого значения достоверности можно выбрать из таблиц нормального распределения такую величину t_α , что точность будет равна:

ε= t_α D(m/n)= t_α p(1-p)/n

Отсюда можно определить количество реализаций n , необходимых для получения оценки m/n с точностью ε и достоверностью α

α	0.60	0.85	0.95	0.99
tα	0.84	1.44	1.96	2.58

n= t_α²p(1-p)/( ε²)

На практике часто определяющим при выборе числа реализаций является допустимый расход времени ЭВМ. В этом случае возможны два варианта оценки точности моделирования:

-для заданных количества реализаций n , достоверности α и полученной оценки вероятности Р вычислить точность ε ;

- для заданных количества реализаций n ,точности ε и полученной оценки вероятности Р , вычислить достоверность α .

Другим распространенным случаем является оценка по результатам моделирования среднего значения ( математического ожидания) некоторой случайной величины.

Пусть случайная величина Х имеет среднее значение a и дисперсию s² . В реализации с номером k она принимает значение x_k . В качестве оценки для среднего значения используется среднее арифметическое.

_n

m_x=(1/n) ∑x_k

^k=1

По центральной предельной теореме при больших значениях n среднее арифметическое будет иметь нормальное распределение с математическим ожиданием a и дисперсией s²/n . Поэтому точность

ε= t_αs n