3.3.9. Модель с учетом дефицита (модель 2)
В модели 1 предполагалось, что все поступившие требования на товары удовлетворяются, т. е. Отсутствие товара на складе не допускалось.
Теперь рассмотрим более общий случай, когда дефицит запасов допускается, а заявки, пришедшие во время отсутствия товара, учитываются и затем, начиная с момента поставки, сразу удовлетворяются.
Обозначим через Ср затраты, связанные с нехваткой одной единицы товара в единицу времени в течении периода дефицита. Эти затраты могут представлять собой штрафы за отсутствие товара, стоимость учета заявок и т. д. Очевидно, что если за дефицит не штрафуют ( Ср =0 ) , то «выгодно» не иметь запаса вообще. Если же штраф достаточно велик, то дефицит допускать не следует. При промежуточных значениях Ср «выгодно» иметь определенный период дефицита.
График зависимости уровня запаса на складе от времени
n
T2
T1
Т
Рис.3.7.
Период пополнения запасов Т разобьем на два: Т1 –период наличия товара на складе, Т2 – период дефицита. Кроме объема партии n, необходимо ввести величину s - максимальный уровень запаса на складе. Остальные обозначения такие, как в модели 1: h -интенсивность спроса, Сl – затраты на поставку одной партии, Сs – затраты на хранение одной единицы товара в единицу времени, Θ – время работы системы.
Затраты за период Т состоят из затрат на поставку одной партии, затрат на хранение товара и штрафа за дефицит.
Так как товары хранились на складе в течение периода Т1, а их среднее количество за этот период s/2, то затраты на хранение за период Т будут равны Сs*Т1*s/2 .
В период дефицита Т2 средняя нехватка составляет (n-s )/2 единиц товара, поэтому штраф за дефицит будет равен Ср*Т2*(n-s )/2 .
Суммарные затраты за период Т:
Сl+Сs*Т1* s/2+Ср*Т2*(n-s)/2
Общие затрата за время Θ:
Г(n,s )=(Сl+Сs*Т1*s/2 +Ср*Т2*(n-s)/2)*Θ /Т
Здесь, как и в модели 1, существует связь между некоторыми параметрами, а именно
Т1*h=s, Т2*h=n-s, Т*h=n
С помощью этих соотношений исключим т1, т2, т и получим
Г(n,s)=Сl*О*h/n + Сs*Θ*s / (2*n) +Ср* Θ*(n-s) /(2*n)
Необходимо найти оптимальный размер партии nо и оптимальное значение so , т.е. такие значения n>0 и s> 0, при которых функция Г(n,s) принимает минимальное значение. Считая n и s непрерывными переменными, используем необходимое условие экстремума функции двух переменных, приравняем первую производную к нулю.
Решая полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными n и s, получим оптимальный размер партии
n
о
=
2*Сl*h*(Сs
+ Ср)/(С*Ср)
Оптимальное значение
s
o=
2*Сl*h*Ср/(Сs*(Сs
+ Ср))
оптимальный период пополнения запасов
Т о= nо/h= 2*Сl*(Сs + Ср)/( h*Сs*Ср)
Вычислим теперь минимальные затраты:
Г
(nо,so
)=Θ *
2*Сl*h*Сs*Ср/(Сs
+Ср)
Убедиться в том, что nо и доставляют минимум функции Г(n,s) можно, проверив знак второй производной.
Так как условия выполняются для любых n> 0, s>0 , то (nо,so) – точка абсолютного минимума функции Г(n,s).
Величина
Р = Ср/(Сs + Ср)
Называется коэффициентом затрат при дефиците, причем 0< Р< 1. Из выведенных формул следует, что оптимальный размер партии nо и оптимальный период пополнения запасов То в этой модели равны соответствующим величинам из модели 1, умноженным на 1 Р. а минимальные затраты в этой модели получаются из величины в модели 1, умноженной на Р.
Если Ср , то Р 1 и формулы модели 2 переходят в формулы модели 1.
на 1 Р, а минимальные затраты в этой модели получаются из величины в модели 1, умноженной на Р.
Если Ср , то Р 1 и формулы модели 2 переходят в формулы модели 1.
3.3.10. Модель с учетом интенсивности поставок (модель 3)
В моделях 1 и 2 предполагалось, что заказанные n единиц товара поступают на склад в виде партии объема n, т.е. все n единиц товара поставляются одновременно.
Рассмотрим модель 1 с дополнительным условием: n –единиц товара поступают на склад с постоянной интенсивностью g , причем g>h . Будем считать, что в начальный момент времени товара на складе нет, затем с интенсивностью g происходит поставка n единиц товара до уровня и с интенсивностью товары со склада убывают. Таким образом, интенсивность увеличения запаса равна g-h .
Как только вся партия поступила, уровень запаса на складе начинает уменьшаться с интенсивностью h до нуля.