3.1.3. Системы массового обслуживания с ожиданием.

Одноканальная система. Рассмотрим одноканальную СМО, на вход которой поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью " λ ". Интенсивность обслуживания - " μ ". Пусть имеется m мест для ожидания, т. е. заявка, пришедшая в систему, когда в ней заняты все "m" мест для ожида­ния, покидает систему не обслуженной. Такая система может находится в одном из (m+2) состояний:

μ μ μ μ

……

λ λ λ λ

Рис.3.4.

Вероятность нахождения системы в состоянии "S₀":

Р_о=(1+p+p²+... +р^m+1)^-1

Записав эту геометрическую прогрессию в другом виде:

Р_о=(1-р)/(1-р^m+2)

Для промежуточного состояния "к" вероятность:

Р_к=р^кР_о

Очередная заявка получает отказ только в случае, когда занят единственный канал системы и заняты все m мест для ожидания, т. е. вероятность отказа:

Р_отк=P_m+1=p^m+1(1-p)/(1-p^m+2)

Относительная и абсолютная пропускные способности равны соответственно:

q=1-Рoтк

А= λ (1-Р_отк)

Среднее число заявок, находящихся в очереди:

Среднее число заявок. находящихся в фазе обслуживания:

M_w=l-P₀

Среднее число заявок, находящихся в системе:

M_к=M_r+M_w

Среднее время ожидания:

M_t=M_r/ λ

Если в СМО неограниченное число мест для ожидания, то очередь не будет расти безгранично при условии: р< 1 и тогда любая из заявок рано или поздно будет обслужена, поэтому q = 1, а абсолютная пропу­скная способность А= λ.

Среднее число заявок, находящихся в очереди:

М_г=р²/(1-р)

Среднее число заявок, находящихся в системе:

М_к=М_r+р=р/(1-р)

Среднее время ожидания:

M_t=M_r/ λ

Многоканальная система. Рассмотрим n–канальную СМО с ожиданием при тех же исходных данных. Граф переходов для этой системы:

μ 2μ nμ nμ nμ nμ

λ λ λ λ λ λ

Рис.3.5.

В ыражения для вероятностей:

где р^~=р/n

Р_отк=P_n+m=n=(p^n+m/n^mn!)P₀

Q=l-Р_отк

А = λ /(1-P_oтк),

M_r=(P₀р^п-1/(n*n!))(1-(m+1-mр^~)*р^~m)/(1-р^~)²)

Среднее число занятых каналов:

М_с= λ / μ

Среднее число заявок, находящихся в системе:

Мк=М_г+М_g

Среднее время ожидания:

M_t=M_r/A

Если в СМО неограниченное число мест для ожидания, то очередь не будет расти безгранично при условии: р=р/n< 1 и тогда любая из заявок рано или поздно будет обслужена, поэтому q = 1, а абсолютная пропускная способность А= λ.

M_r=P₀pⁿ⁺¹/(n*n!)(l-p)²)

Среднее число занятых каналов:

М_г=А/μ

Среднее число заявок, находящихся в системе:

М_К=М_Г+ М_g

Среднее время ожидания:

М_t=М_r/λ

Что Вы должны знать:

(вопросы для самоконтроля

1. Какова функциональная схема СМО?

2. Что является входным потоком в СМО?

3. Какими способами определяются интенсивности входного потока и обслуживания?

4. Зачем нужны характеристики СМО?

5. При каком условии СМО будет работать устойчиво?

6. Каким образом можно оценить деятельность СМО с помощью характеристик?

7. Приведите примеры систем массового обслуживания различных моделей.

Примеры для закрепления:

Определить оптимальное число телефонных номеров в магазине при условии, что вероятность безотказной работы будет более 0,8, заявки на переговоры поступают с интенсивностью, равной 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора по телефону равна 2 минуты.

1. Решим задачу для одноканальной СМО с отказами.

=90

=1/30 ( 2 минуты равны 1/30 часа)

=1/=30

Р_отк=1-Р₀=1-/(+)=90/(90+30)=0,75

q=1- Р_отк=0,25

При одном телефонном номере без ожидания вероятность безотказной работы равна 0,25.

2. Решим эту же задачу при условии, что телефонных номеров два.

n=2

=90

=1/30 ( 2 минуты равны 1/30 часа)

=1/=30

=/=3

P₀=(1+p/1!+p²/2!+…+pⁿ/n!)^-1=1/1+3+4,5)=0,118

P_отк=(pⁿ/n!)Po=(3²*0,118)/2=0,53

q=1- Р_отк=0,47

При двух телефонных номерах без ожидания вероятность безотказной работы будет равна 0,47

Продолжите решение этой задачи и найдите, сколько телефонных номеров минимум необходимо для обеспечения безотказной работы с вероятностью не ниже 0,8.

3. Решим эту задачу для одноканальной СМО с ожиданием. Допустим, что длина очереди равна 1.

m=1

=90

=1/30 ( 2 минуты равны 1/30 часа)

=1/=30

=/=3

Р_о=(1-р)/(1-р^m+2)=(1-3)/(1-3³)=0,077

Р_отк=P_m+1=p^m+1(1-p)/(1-p^m+2)=3²*0,077=0,66

q=1- Р_отк=0,34

При одном канале и одном месте для ожидания вероятность безотказной работы равна 0,34.

Сколько мест для ожидания необходимо как минимум для достижения вероятности безотказной работы не менее 0,8?