5. Расчет цилиндрической зубчатой передачи

Главный геометрический параметр цилиндрической зубчатой передачи – межосевое расстояние а (рисунок 1),его значение рассчитывается из условия контактной выносливости рабочих поверхностей зубьев [4, с. 61] по формуле:

, (5.1)

где Т₃ – вращающий момент на валу колеса (3-й вал привода), Нмм;

K_H – коэффициент нагрузки колес при расчете по контактным напряжениям (K_H = 1,2…1,3);

_а – коэффициент ширины колеса. Для одноступенчатого цилиндрического редуктора при симметричном расположении колес относительно опор _а = 0,4 или 0,5 [5];

u – передаточное число зубчатой передачи, u = u_ЗП;

[_Н2] – допускаемое контактное напряжение для материала колеса, так как колесо имеет более низкую прочность по сравнению с шестерней.

Рисунок 1 – Геометрические параметры цилиндрической зубчатой передачи

Рассчитаем предварительное значение межосевого расстояния:

.

Значение округляют до ближайшего большего значения по единому ряду главных параметров редуктора [4]: 25, 28, 30, 32, 36, 40, 45, 50, 56, 63, 71, 80, 90, 100, 112, 125, 140, 160, 180, 200, 224, 250, 280, 315, 355, 400. При небольшом превышении над стандартным значением (до 3…5 %) допускается выбирать меньшее стандартное значение межосевого расстояния. Принимаем = 200мм.

Определяем предварительные значения ширины зубчатого колеса и шестерни:

,

Значения и совпадают со стандартными значениями из ряда главных параметров (см. выше): b₁ = 90мм; b₂ = 80 мм.

Модуль зубчатых колес выбирают в следующем интервале:

m^/ = (0,01…0,02)  а = (0,01…0,02) 200 = 2…4 мм.

Для силовых передач значение модуля m должно быть больше или равно 1,0 мм и соответствовать по ГОСТ 9563-60 ряду (мм): 1,0; 1,25; 1,5; 1,75; 2,0; 2,25; 2,5; 2,75; 3,0; 3,5; 4,0; 4,5; 5,0; 5,5; 6,0. Жирным шрифтом выделены предпочтительные модули.

Выбираем модуль m = 2,5 мм.

Определим число зубьев колес. Предварительное суммарное число зубьев колес вычисляют из соотношения:

Предварительное значение суммарного числа зубьев желательно получить сразу целым числом, чтобы не вводить коррекцию (смещение исходного контура) зубчатых колес. Это можно обеспечить подбором модуля m в приведенном выше интервале.

Предварительное значение числа зубьев шестерни находят из соотношения:

Округляем полученное значение z^/₁ до ближайшего целого значения

z₁ = 27. Причем для обеспечения неподрезания ножки зуба прямозубой шестерни необходимо, чтобы значение z₁ было больше или равно 17. После этого вычисляют число зубьев колеса z₂:

.

Таким образом, z₂ = 133 и z₁ = 27.

Уточним фактическое передаточное число передачи:

U_ф = z₂ / z₁ = 133 / 27 = 4,926.

Отклонение фактического передаточного числа составляет:

.

Для передач общемашиностроительного применения допускается отклонение фактического передаточного числа от номинального значения в пределах 4 %.

Проверка прочности зубьев колес по контактным напряжениям проводится по следующему условию прочности:

, (5.2)

где К_H – коэффициент нагрузки зубьев колеса при расчете по контактным напряжениям определяется по формуле:

К_H = К_Hα · К_Hβ · К_HV, (5.3)

где К_Hα – коэффициент распределения нагрузки между зубьями (для прямозубых колес К_Hα = 1);

К_Hβ – коэффициент концентрации нагрузки;

К_HV – коэффициент динамичности.

Значение коэффициента К_Hβ при расчете определяется из таблицы 7 в зависимости от коэффициента ширины колеса относительно диаметра ψ_bd, который определяют по формуле ψ_bd = 0,5 ψ_ba (и+ 1),

где ψ_ba – коэффициент ширины колеса относительно межосевого расстояния (значения приводятся в таблице 4).

При ψ_bd = 0,5·0,4·(5+1) = 1,2  по таблице 7 К_Нβ = 1,07.

Таблица 4 – Значения коэффициента ψ_ba [1]

Расположение колес относительно опор	Твердость рабочих поверхностей зубьев
	Н1 ≤ 350 НВ, Н2 ≤ 350 НВ	Н1 > 350 НВ, Н2 > 350 НВ
Симметричное (цилиндрические одноступенчатые прямозубые)	0,30…0,50	0,25…0,30
Несимметричное	0,25…0,40	0,20…0,25
Консольное	0,20…0,25	0,15…0,20

Таблица 5– Значения коэффициентов К_Fβ и К_Нβ при различной твердости НВ поверхностей зубьев и симметричном расположении шестерен относительно опор [1]

Твер-дость НВ	КFβ при ψbd						КНβ при ψbd
	0,2	0,4	0,6	0,8	1,2	1,6	0,2	0,4	0,6	0,8	1,2	1,6
<350	1,01	1,03	1,05	1,07	1,14	1,26	1,01	1,02	1,03	1,04	1,07	1,10
>350	1.02	1,04	1,08	1,14	1,30	—	1,01	1,02	1,04	1,07	1,16	1,26

Коэффициент динамичности К_HV зависит от окружной скорости вращения колес V₂, рассчитываемой по зависимости:

.

Окружная скорость вращения колес определяет их степень точности по ГОСТ 1643–81. Так при окружной скорости V₂ до 2 м/с назначается 9-я степень точности, до V₂ = 6 м/с – 8-я степень точности, до V₂ = 10 м/с – 7-я степень точности.

По данным рассматриваемого примера V₂ = 2,33 м/с. Этой скорости соответствует 8-я степень точности. Определим значение коэффициента К_HV по таблице 5 с помощью линейной интерполяции. Получим К_HV = 1,092.

Тогда коэффициент нагрузки при расчете по контактным напряжениям:

К_H = 1· 1,07 · 1,092 = 1,1684.

Действительное контактное напряжение равно:

Таблица 6 – Значения К_HV – коэффициента динамичности нагрузки при контактных напряжениях [1]

Степень точности	Окружная скорость V, м/с
	1	2	4	6	8	10
7	–	–	–	1,21	1,29	1,36
8	–	1,08	1,16	1,24	–	–
9	1,05	1,1	–	–	–	–

Допускаемая недогрузка передачи (_Н2  [_Н2]) возможна до 15 %, а допускаемая перегрузка (_Н2  [_Н2]) – до 5 %. Если эти условия не выполняются, то необходимо изменить ширину колеса b₂ или межосевое расстояние , и повторить расчет передачи.

Фактическая недогрузка для рассматриваемого примера составит:

,

что меньше 15 %, а значит, допустимо.

Проверочный расчет на усталостную прочность по напряжениям изгиба зубьев колеса проводим по формуле:

σ_F2 = Υ_F2 · F_t2 · K_F · K_FD / (b₂ m) ≤ [σ_F2], (5.4)

где Υ_F2 – коэффициент формы зуба колеса;

F_t2 – окружное усилие, Н;

K_F – коэффициент нагрузки при расчете по напряжениям изгиба;

K_FD – коэффициент долговечности (принимаем K_FD =1).

Для параметров, входящих в данную формулу, принимаем следующие числовые значения. Коэффициент формы зуба Υ_F2 выбирается в зависимости от числа зубьев колеса по таблице 7. Для z₂ =133 выбираем Υ_F = 3,6.

Таблица 7 – Зависимость коэффициента Υ_F2 от числа зубьев колес

z2	17	20	25	30	40	50	60	80	>100
ΥF	4,28	4,09	3,9	3,8	3,7	3,66	3,62	3,61	3,6
Примечание – Промежуточные значения находят интерполированием.

Коэффициент нагрузки при расчете на изгиб определяется по формуле: K_F = K_Fα · K_Fβ · K_FV, (5.5)

где K_Fα – коэффициент неравномерности распределения нагрузки между парами зубьев (для прямозубых колес K_Fα = 1);

К_Fβ – коэффициент, учитывающий неравномерность распределения нагрузки по длине контактных линий (таблица 7);

К_FV – коэффициент, учитывающий внутреннюю динамическую нагрузку при расчете зубьев на прочность при изгибе (таблица 10);

По таблице 7 определяем: K_Fβ = 1,14 (при Н₂ < 350 НВ и ψ_вd = 1,2). По таблице 8 интерполяцией определяем К_FV =1, 253 (при V = 2,33 м/с,

Н₂ < 350 НВ и 9-й степени точности изготовления передачи).

Таблица 8 – Значения коэффициента К_FV

Степень точности изготовле- ния передачи	Твердость рабочих поверхностей зубьев колеса, НВ	Окружная скорость V, м/с
		1	3	5	8	10
6-я	> 350	1,02	1,06	1,10	1,16	1,2
	≤ 350	1,06	1,18	1,32	1,5	1,64
7-я	> 350	1,02	1,06	1,12	1,19	1,25
	≤ 350	1,08	1,24	1,4	1,64	1,8
8-я	> 350	1,03	1,09	1,15	1,24	1,3
	≤ 350	1,1	1,3	1,48	1,77	1,96
9-я	> 350	1,3	1,09	1,17	1,28	1,35
	≤ 350	1,11	1,33	1,56	1,9	—

Тогда, коэффициент нагрузки при расчете на изгиб:

K_F = 1 · 1,14 · 1, 253 = 1,43.