4. Поступальний і обертальних рух твердого тіла

Розглядаючи рух твердого тіла, розрізняють поступальний і обер­тальний рухи. Поступальним рухом твердого тіла називають такий його рух, при якому будь-яка пряма, проведена в тілі, залишається паралельною самій собі.

Обертальним рухом твердого тіла називають такий його рух, при якому всі точки, з яких складається тіло, описують кола, що лежать в паралельних площинах, а геометричне місце центрів цих кіл утво­рює пряму, яку називають віссю обертання.

Розглянемо поступальний і обертальний рухи абсолютно твердого тіла.

Поступальний рух абсолютно твердого тіла можна описати рухом окремої його точки. Як уже зазначалося (§ 1 розд. 1), абсолютно твер­дим називають тіло, яке не змінює своєї форми при будь-яких діях. Іншими словами, відстань між будь-якими точками абсолютно твердо­го тіла залишиться сталою за всіх умов. Звичайно таких тіл у приро­ді не існує. Це поняття є зручною ідеалізацією, справедливою лише тоді, коли можна нехтувати деформацією тіл.

Якщо абсолютно тверде тіло переміщується поступально із швид­кістю v, то й будь-яка його точка матиме ту саму швидкість. Умовно розділимо тіло А на п частин і знайдемо його кінетичну енергію як суму кінетичних енергій його частин:

де М — маса тіла; т_і — маса його і-ї частини.

Отже, кінетичну енергію твердого тіла, яке поступально рухається, можна визначити з формули, аналогічної формулі для кінетичної енер­гії матеріальної точки.

Якщо тверде тіло обертається навколо осі з кутовою швидкістю ю, ю лінійна швидкість окремих точок збільшуватиметься із збільшен­ням відстані від осі обертання відповідно до формули (1.21). Підставивши (1.21) в (2.50), дістанемо

— момент інерції тіла.

Момент інерції будь-якого тіла є фізичною величиною, яка врахо­вує масу і ЇЇ просторове розміщення відносно осі обертання. Момен­том інерції матеріальної точки називають добуток маси точки на квадрат відстані її від осі обертання:

І = mr². (2.52)

Для довільного тіла

І = ∫ r²dm. (2.53)

Скориставшись формулою (2.53), можна визначити моменти інерції різних тіл. Наприклад, момент інерції тонкого кільця відносно гео­метричної осі І = mr², диска I=mr²/2, кулі I = 2mr²/5 тощо.

Розглянемо тіло, яке обертається з кутовою швидкістю о) (рис. 2.9) і під дією сили F, що при­кладена до точки А на відстані r від осі обертан­ня. Через проміжок часу dt тіло з точки А пере­міститься в точку А', а радіус-вектор точки пере­міститься на кут dφ, який зв'язаний з кутовою швидкістю (dφ = ωdt). При цьому точка А описуватиме дугу ds (ds = rdφ). Виходячи із загаль­ного визначення роботи (2.38), для даного випадку запишемо

Fds = Frdφ = Frωdt. (2.54)

Ця робота йде на зміну кінетичної енергії обертання . Тому можна записати . Після перетворень дістанемо

Де М=Fr – момент сили. Врахувавши це, з (2.55) дістанемо

якщо I=const і

Добуток моменту інерції на кутову швидкість ( ) називають моментом імпульсу. Вираз (2.56) називають основним рівнянням динаміки обертального руху твердого тіла. Запишемо його так:

Якщо на систему не діють зовнішні сили або рівнодійна їх не створює моменту сил відносно осі обертання, то М=0, і вираз (2.57) набуде такого вигляду:

Іω= const. (2.58)

Отже, коли на систему не діють моменти зовнішніх сил, то момент імпульсу її залишається сталим. Це — закон збереження моменту ім­пульсу.

Наведемо приклади, що ілюструють закон збереження моменту імпульсу. Кулька утримується на нитці, що намотується на палку. Із зменшенням довжини нитки зменшується момент інерції кульки і, отже, збільшується кутова швидкість. Гімнаст під час стрибка через голову притискує до тулуба руки й ноги. Цим він зменшує свій момент Інерції, а оскільки добуток Іω повинен залишатися незмінним, то кутова швидкість обертання ω збільшується, і в короткий проміжок часу, поки гімнаст перебуває в повітрі, він робить повний оберт, а то й кілька.

Завдання для самостійної роботи.

Завдання для самоконтролю.

Лекція 3. Робота і енергія

План.

1. Робота.

2. Енергія.

3. Закон збереження механічної енергії.

4. Портужність.

Рекомендована література..

Основна: 1.71-74; 3.67-91

Додаткова: 3. 17-22

Теоретичні відомості.

1-2. Робота. Енергія

Нехай тіло, на яке діє сила F, рухаючись по деякій траєкторії, проходить шлях s. При цьому під дією сили або змінюється швидкість тіла (сила надає тілу прискорення), або компенсується дія іншої сили (або сил), що протидіє руху. Дію сили F на шляху s характеризують величиною, яку називають роботою.

Робота — це скалярна величина, що дорівнює добутку проекції сили на напрям переміщення F_s на шляху s, який проходить точка прикладання сили,

Вираз (2.35) справедливий в тому випадку, якщо проекція сили на напрям переміщення залишається незмінною. Зокрема, це має місце тоді, коли тіло рухається прямолінійно, а стала за величиною сила F утворює з напрямом руху сталий кут α.

Оскільки F_s = F cos α, вираз (2.35) можна записати так:

A = Fs cos α. (2.36)

Робота — алгебраїчна величина. Якщо сила і напрям переміщення утворюють гострий кут (cos α > 0), то робота додатна. Якщо кут сс тупий (cos α < 0), робота від'ємна. При α = π/2 робота дорівнює нулю. Звідси випливає, що поняття роботи в механіці істотно відрізняється від звичайного уявлення про роботу.

Я кщо проекція сили на напрям переміщення не залишається ста­лою під час руху, то для обчислення роботи шлях s ділять на елемен­тарні ділянки Δs так, щоб під час проходження тілом цієї ділянки силу F_s можна було вважати практично незмінною. Тоді робота на кожній елементарній ділянці буде

а робота на всьому шляху

При прямуванні всіх Δs_i до нуля наближена рівність (2.38) переходить в точну:

На рис. 2.8 побудовано графік залежності F_s від положення точки вздовж траєкторії (горизонтальну вісь можна назвати віссю s, a дов­жина відрізка вздовж цієї осі між точками s₁ та s₂ дорівнює довжині шляху). З рисунка видно, що робота А на шляху від одної точки до дру­гої чисельно дорівнює площі фігури, обмеженої кривою, ординатами, що проходять через точки s₁ та s₂, і віссю s.

Дослід показує, що деякі тіла здатні виконувати роботу над інши­ми тілами. Фізичну величину, що характеризує здатність тіла або си­стеми тіл виконувати роботу, називають енергією. Енергія тіла може бути обумовлена, по-перше, рухом тіла з деякою швидкістю, а, по-дру­ге, знаходженням його в потенціальному полі сил. Енергію першого типу називають кінетичною. Енергію другого типу називають потенціальною. Коротко можна сказати, що кінетична енергія — це енергія руху, а потенціальна — енергія положення.

Кінетична енергія матеріальної точки т, що рухається із швидкістю v,

Помноживши на т чисельник і знаменник виразу (2.40) і взявши до уваги, що добуток ти дорівнює імпульсу тіла р, вираз для кінетичної енергії запишемо так:

Е_к = р²/(2т). (2.41)

Робота, що виконується над тілом, дорівнює зміні його кінетичної енергії .

Розглянемо матеріальну точку в потенціальному полі сил. Поста­вимо у відповідність кожній точці поля, що характеризується радіусом-вектором r, певне значення деякої функції , здійснивши це так. Для деякої вихідної точки О візьмемо довільне значення функції, що дорівнює U₀. Щоб дістати значення U₁ в деякій точці 1, додамо до U₀ роботу А₁₀, що виконується силами поля над тілом при його переміщенні з точки 1 в точку О:

U₁=U₀ + A₁₀. (2.42)

Визначена так функція має розмірність енергії або роботи. Оскільки робота в потенціальному полі сил не залежить від шляху, знайдене так значення U₁ виявляється однозначним.

Аналогічно визначимо значення для всіх точок поля. Зокрема, значення в точці 2 буде

U₂=U₀ +А₂₀ (2.43)

Обчислимо різницю U₁ - U₂. Для цього віднімемо від (2.42) вираз (2.43) і використаємо той факт, що А₂₀ = —А₀₂. При цьому дістанемо U₁—U₂=(U₀+А₁₀)—(U₀+А₂₀)=А₁₀+А₀₃. Але сума А₁₀ + А₀₂ дорівнює роботі, яку здійснюють сили при переміщенні тіла з точки 1 в точку 2 по траєкторії, що проходить через точку О. Проте робота, що виконується над тілом при його переміщенні по будь-якій іншій траєкторії, буде такою самою. Тому суму А₁₀ + А₀₂ можна записати як А₁₂, і, отже, дістанемо співвідношення

U₁. – U₂=А₁₂ (2.44)

За допомогою функції можна визначити роботу, що здійснюється над тілом силами поля на будь-якому шляху, обмеженому точками 1 і 2. Ця робота дорівнюватиме зменшенню функції на шля­ху 1—2. Останнє дає підставу трактувати фізичну величину як один з різновидів механічної енергії, яку називають потенціальною.

Кожній точці потенціального поля відповідає деяке значення сили F, що діє на тіло, і потенціальної енергії тіла U. Отже, між силою і потенціальною енергією повинен існувати певний зв'язок. Для вста­новлення цього зв'язку використаємо вираз для елементарної роботи ΔА (2.37), яку здійснюють сили поля при малому переміщенні тіла Δs, що відбувається вздовж довільно обраного напряму в просторі, який позначимо буквою s.

Оскільки в даному випадку робота здійснюється за рахунок запа­су потенціальної енергії, вона дорівнює зменшенню потенціальної енергії на відрізку As осі s:

ΔА = — ΔU. (2.45)

Порівнявши (2.37) і (2.45), дістанемо F_sΔs = — ΔU,

Звідси маємо середнє значення F_s на відрізку Δs. Щоб дістати зна­чення F_s в даній точці, треба виконати граничний перехід

Оскільки U змінюється не лише при переміщенні вздовж осі s, а й при переміщенні вздовж інших напрямів, то границя в формулі (2.47) є частинною похідною від U no s:

Для сил, що залежать лише від положення тіла, може трапитись, що робота, яку вони здійснюють над тілом, не залежить від шляху, а визначається лише початковим і кінцевим положенням тіла в просто­рі. В цьому випадку поле сил називають потенціальним, а самі си­ли — консервативними. Сили, робота яких залежить від шляху, по якому тіло переходить з одного положення в інше, називають неконсервативними. Прикладом неконсервативних сил можуть бути сили тертя.

Розглянемо, як змінюються кінетична і потенціальна енергії будь-якої ізольованої системи, в якій діють лише консервативні сили. Елементарна робота консервативних сил дорівнює взятій з протилежним знаком елементарній зміні потенціальної енергії (2.45). Крім того, оскільки інші сили в консервативній системі не діють, то та сама елементарна робота дорівнює елементарній зміні кінетичної енергії. Отже, dA = dE_K = —dE_n або d(E_K + Е_п) = 0, звідси

Е_к + Е_п = const. (2.49)

Ця рівність є виразом закону збереження механічної енергії, який стверджує, що повна механічна енергія консервативної системи не змінюється. Один з основних законів механіки — закон збереження енергії — можна сформулювати так: повна механічна енергія замкненої системи тіл, між якими діють лише консервативні сили, залишається сталою.

В СІ одиницею роботи є джоуль (Дж), який дорівнює роботі, яку здійснює сила в 1 Н на шляху в 1 м.

В системі СГС — ерг, що дорівнює роботі, яку здійснює сила в 1 дин на шляху в 1 см. Між одиницями роботи існує співвідношення: 1 Дж -= 1 Н • 1 м = 10⁵ дин • 10² см = 10⁷ ерг.

Енергія вимірюється в тих самих одиницях, що й робота.

Поняття енергії є одним із основних понять фізики.

Енергією називається скалярна фізична величина, що є загальною мірою різних форм руху матерії і взаємодії матеріальних об'єктів.

Для аналізу якісно різних форм руху і взаємодій розглядають і різні форми енергії, наприклад, механічну, внутрішню, електромагнітну та інші.

У механіці мірою переданої енергії від одного до іншого із взаємодіючих тіл є робота.

Елементарною роботою сили , прикладеної до тіла на ма­лому переміщенні d , називається скалярна величина

(смисл позначення δА буде розкрито згодом). Оскільки скалярний добуток ( , d ) = F·dr·cosα (рис. 1.11), a F·cosa=F_τ (F_τ — проекція сили на дотичну до кривої АС в точці А), то вираз для елементарної роботи можна також записати у вигляді

в раховуючи, що dr=ds (ds=АВ — елементарна довжина шляху).

Якщо сила перпендикулярна d (α=π/2), то така сила роботи не виконує. Силу F нази­вають рушійною при 0≤ α < π /2 (δА>0), а при π /2< α < π силу називають гальмівною (δА<0). Коли до тіла прикладено декілька сил ₁, ₂,…, _п

деδА_і = ( _і, d ) i=1, 2, 3,..., n.

Робота А сили на шляху s (s — довжина ділянки траєкторії L=AC, рис. 1.11) виражається криволінійним інтегралом

Для обчислення цього інтеграла треба знати залежність F_τ (s) уздовж даної траєкторії L. Якщо ця залежність представ­лена графічно (рис. 1.12), то роботам! вимірюється площею, за­штрихованою на цьому рисунку. Наприклад, робота деформую­чої сили F=ks (k — коефіцієнт пружності; s — абсолютна деформація при розтягу або стискуванні) на шляху s = x дорівнює

На графіку (рис. 1.13) робота А представлена площею трикутника СОВ, яка дорівнює

Якщо F_τ= const, α = 0, L — пряма, то

A = F·s. (5)

Виходячи із співвідношення (5), одержимо одиницю роботи: [A] = [F]·[s] = 1 H·1 м=1 Дж (джоуль).

П отенціальними (консервативними) силами називаються такі сили, робота яких залежить тільки від початкового і кінце­вого положення точок їх прикладання і не залежить від фор­ми шляху між цими точками. Наприклад, потенціальними є гравітаційні та електростатичні сили.

Робота потенціальних сил на замкнутому шляху дорівнює нулю (рис. 1.14). Дійсно, якщо роботу виконує потенціальна сила, то

Звідси А_1а2-А_1b2=А_1а2+А_2b1=А_1а2b1=0 (1а2b1— замкнута траєкторія L). Отже,

У цьому випадку елементарна робота ( , d ) є повним диференціалом величини А і для и позначення вживають символ dA:

Сили, робота яких залежить від форми шляху і на замкнуто­му шляху не дорівнює нулю, називаються дисипативними. Прикладом таких сил є сили тертя. Робота дисипативних сил завжди від'ємна. Ці сили не є потенціальними, і елементарна робота дисипативних сил не є повним диференціалом. У цьому випадку для позначення елементарної роботи вживається символ δA.

Системи, в яких діють тільки потенціальні сили, називаються консервативними, а системи, у яких діють дисипативні сили — дисипативними.

Завдання для самостійної роботи.

Потужність

Для характеристики роботи, виконаної за одиницю часу, ко­ристуються поняттям потужності. Потужністю (миттєвою потужністю) називається скалярна фізична величина N, яка дорівнює відношенню елементарної роботи SA до малого проміжку часу dt, протягом якого ця робота виконувалась:

Оскільки δA = ( , d ), то N = i у випадку = const.

де — швидкість точки прикладання сили.

Середньою потужністю N_c в інтервалі часу від t до t + Δt називається фізична величина, яка дорівнює відношенню роботи А, що виконується за цей проміжок часу, до його протяжності Δt:

Звідси [N] = [A]/[t] = 1 Дж/с=1 Вт (ват).

Розрізняють два види механічної енергії: кінетичну і потенціальну.

Кінетичною енергією W_K тіла називається енергія його ме­ханічного руху.

Зміна кінетичної енергії dW_K матеріальної точки під дією сили F дорівнює роботі δА, яку ця сила виконує:

Враховуючи другий закон Ньютона, одержимо:

Коли ΔА>0 ( — рушійна сила), тіло прискорюється, тобто ↑↑d і δA = mvdv. Таким чином

dW_K=mvdv.

Якщо тіло, що перебувало в спокої, набуває швидкості v, то

Отже, кінетична енергія тіла дорівнює .

Кінетична енергія системи матеріальних точок дорівнює су-,_чщ кінетичних енергій всіх точок, що входять до складу системи:

Якщо механічна система рухається поступально, то

де — маса системи матеріальних точок; υ_c — швидкість центра інерції системи, т_і та υ_і — маса і швидкість і-ї точки системи. Рівняння (14) виражає теорему Кьоніга.

Потенціальною енергією W_n називається частина енергії ме­ханічної системи, яка залежить від взаємного розміщення тіл та їх частин одне відносно одного і від їх положення у зовніш­ньому потенціальному полі.

Робота потенціальних сил дорівнює зменшенню потенціаль­ної енергії:

δA = -dWn. (15)

Наприклад, елементарна робота сили пружності

δА = -ksds,

де k — коефіцієнт пружності; s — абсолютна деформація в даний момент часу; ds — елементарне переміщення точки прикладання сили. Обчислимо роботу А₁₂, яка виконується при переході пружини із стану (1), коли s = x, в стан (2), коли s = 0 (рис. 1.15):

Але, оскільки А₁₂= W_n1-W_n2, то

Отже, потенціальна енергія пружно деформованого тіла:

Повна механічна енергія W системи матеріальних точок дорівнює сумі їх кінетичних і потенціальних енергій:

W=W_K+Wп

Якщо система консервативна, то повна механічна енергія цієї системи зберігається:

W=W_K+Wп= const (18).

Співвідношення (18) виражає закон збереження механічної енергії в консервативній системі. В дисипативних системах механічна енергія не зберігається, бо внаслідок дії дисипативних сил (наприклад, сил тертя) частина механічної перетворюється в інші види енергії (наприклад, у внутрішню).

Оскільки в консервативних системах W=const, то

dW=dW_K+dW_n

або

dW_K = -dWп (19)

тобто приріст кінетичної енергії системи матеріальних точок дорівнює зменшенню її потенціальної енергії і навпаки.

Завдання для самоконтролю.