2. Швидкість

Положення матеріальної точки в просторі можна задати за допомогою радіуса-вектора Зафіксуємо певний момент часу t. Йому відповідає значення радіуса-вектора (рис. 1.1). Протягом наступного (після моменту t) невеликого проміжку часу ∆t (називатимемо його елементарним) точка проходить елементарний шлях і дістає елементарне переміщення, яке збігається з приростом радіуса-вектора за час ∆t.

Відношення

є векторною величиною, що залежить від проміжку часу ∆t. При досить малих значеннях ∆t вектор (1.1) практично припиняє змінюватись як за величиною, так і за напрямом. Отже, при ∆t → 0 відношення (1.1) прямує до певної границі, яку називають швидкістю точки, що рухається, в момент часу t:

Т аким чином, швидкістю називають границю, до якої прямує відношення при необмеженому зменшенні ∆t. Отже, швидкість можна ви­значити як похідну від радіуса-вектора точки, що рухається, за часом:

Як випливає з означення, швидкість — величина векторна. Вектор швидкості має напрям, що збігається з напрямом дотичної до траєкторії в певній точці.

У відповідності з формулою (1.2) модуль вектора швидкості запишемо так:

Тут замість не можна писати ∆r. Символ означає модуль приросту вектора , тоді як ∆r є приріст модуля цього вектора .

Ці величини не дорівнюють одна одній: .

Елементарний шлях ∆s в загальному випадку відрізняється за величиною від модуля елементарного переміщення ∆ (рис. 1.1). Проте для невеликих проміжків часу ∆t різниця між ∆s і буде невеликою, до того ж із зменшенням ∆t шлях ∆s із зростаючою точністю збігатиметься з . На цій підставі запишемо, що

звідки у відповідності з (1.4) для модуля швидкості дістанемо

Формула (1.3) визначає вектор миттєвої швидкості, тобто швидкості для певного моменту часу. Середня швидкість визначається відношен­ням пройденого шляху s до часу t, за який цей шлях подолано:

Швидкість вимірюється в метрах на секунду (СІ) та сантиметрах на секунду (СГС).

3. Прискорення. Прискорення при криволінійному русі

Градієнт швидкості матеріальної точки з часом t характеризують прискоренням

Прискорення вимірюється в метрах на секунду в квадраті (СІ) та сантиметрах на секунду в квадраті (СГС).

П ри прямолінійному русі вектор швидкості напрямлений вздовж однієї й тієї самої прямої — траєкторії, внаслідок чого напрям вектора а збігається з напрямом вектора або протилежний до нього. Якщо а збігається за напрямом з о, то швидкість збільшується, і рух буде прискореним. Якщо а протилежне за напрямом до v, то швид­кість зменшується, і рух буде сповільненим.

Прямолінійний рух із сталим при­скоренням називають рівнозмінним. В залежності від зміни швидкості в часі розрізняють рівномірно прискорений та рівномірно сповільнений рухи. При рівнозмінному прямолінійному русі справедлива формула

де — швидкість у момент часу t; — швидкість в початковий момент часу (при t = 0); — прискорення. При цьому вектори , , напрямлені вздовж однієї прямої.

Визначимо прискорення точки у випадку її руху по криволінійній траєкторії (рис. 1.2). Нехай в момент часу t точка знаходилась в положенні А, а в момент часу t + ∆t — в положенні В. Швидкості та в точках А і В напрямлені по дотичних до траєкторії в цих точках. Перенесемо вектор в точку А. Зміна швидкості за проміжок часу ∆t визначиться вектором . З рис. 1.2 бачимо, що або . Тоді прискорення в точці А запишемо так:

Вектор - називають нормальним прискоренням, а вектор - тангенціальним. Прискорення _п перпендикулярне до вектора швидкості і завжди напрямлене до центра кривизни. Звідси й назва цього вектора — нормальний (тобто перпендикулярний).

Визначимо модуль нормального прискорення. Як видно з рис. 1.2, для малого кута ∆α можна записати

Тоді

Отже, модуль _п в деякій точці траєкторії дорівнює відношенню квад­рата швидкості до радіуса кривизни траєкторії в цій самій точці: а_п = = v²/R.

Якщо на нормалі до траєкторії відкласти в точці А одиничний вектор , що напрямлений до центра кривизни, то вектор нормального прискорення можна записати так:

Розглянемо тепер вектор тангенціального прискорення

Зазначимо, що модуль вектора дорівнює за абсолютною величиною різниці модулів та (рис. 1.2). Тоді

Відповідно тангенціальне прискорення або .

Отже, значення тангенціального прискорення дорівнює першій похідній від швидкості за часом або другій похідній від шляху. Напрям вектора визначається напрямом вектора , якого він набуває в граничному випадку, коли ∆t→0. Неважко побачити, що в граничному випадку вектор напрямлений по дотичній до траєкторії в точці А. Звідси і назва цього вектора — тангенціальний (дотичний). Якщо ввес­ти одиничний вектор т, дотичний до траєкторії і напрямлений в бік ру­ху точки, можна вектор тангенціального прискорення записати так:

Вектор вказує на те, як змінюється швидкість за величиною, а вектор _п характеризує зміну швидкості за напрямом. Отже, для повного при­скорення запишемо

Модуль вектора загального прискорення знайдемо із співвідношення