5.3 Аналітичний метод кінематичного дослідження

Для кінематичного дослідження механізмів (визначення величин переміщень, швидкостей і прискорень) поряд з графічними методами, які відзначаються наочністю і простотою, але не дають великої точності, за умов забезпечення наперед заданої точності користуються аналітичним методом. Розвиток обчислювальної техніки сприяє вдосконаленню і поширенню аналітичних методів кінематичного аналізу механізмів.

В залежності від використаного математичного апарата методи аналітичної кінематики можна поділити на метод аналогів, методи векторної алгебри, координатні методи та метод комплексних чисел.

Застосуємо метод аналогів для дослідження кривошипно-повзунного механізму. У практиці застосовують дезаксіальні (зміщені) кривошипно-повзунні механізми (рисунок 5.7), у яких вісь циліндра не перетинає осі колінчастого вала (вісь обертання кривошипа), та аксіальні (центральні) механізми (рисунок 5.8), у яких вісь циліндра перетинає вісь колінчастого вала.

Рисунок 5.7 – Дезаксіальний кривошипно-повзунний механізм

Рисунок 5.8 – Аксіальний кривошипно-повзунний механізм

Кінематику даного механізму визначають наступні параметри:

,

,

де r – радіус кривошипу,

– довжина шатуна,

y – ексцентриситет.

Найбільш розповсюджені механізми з  = 1/4 . . . 1/10 .

До основних кінематичних параметрів кривошипно-повзунного механізму відносять:

 передаточне відношення;

 переміщення веденої ланки (шатуна з повзуном);

• швидкість і прискорення веденої ланки.

Переміщення s повзуна відлічують від його крайнього правого положення (рисунок 3.8).

s = C₀C = AC₀ – AC = (r + ) – (r  cos  +  cos ) . (1)

З трикутників АКВ і ВКС можна визначити ВК = r  sin  =  sin ;

звідки

Виразимо через .

Відомо, що

,

або, якщо розкласти наведений вираз за формулою бінома Ньютона, то отримаємо:

= =

Для  = 90^о (sin  = 1) при  = 1/5 маємо:

= = 1 – 0,02 – 0,0002 .

Для практичних розрахунків всі члени розкладання, починаючи з третього, можна не враховувати. Тоді величина може бути визначена з виразу

і приблизна формула для визначення переміщення повзуна після підстановки значень у вираз (1) і всіх математичних перетворень буде мати вигляд:

(2)

Шляхом послідовного диференціювання отримаємо формули для визначення швидкості і прискорення повзуна.

. (3)

. (4)

У формулах (3) і (4)   це кутова швидкість ланки. За допомогою формул (2) – (4) можна визначити параметри s, , a для послідовних положень ланок механізму і побудувати кінематичні діаграми (так звані плани переміщень, швидкостей і прискорень), з яких визначають у наступних розрахунках максимальні значення вище зазначених параметрів.

З плану прискорень з урахуванням залежності (4) випливає, що найбільше прискорення повзуна буде мати місце при  = 0 і при  =  і визначається з нижчеподаного рівняння:

, (5)

де “плюс” відповідний до крайнього правого, а “мінус” – до крайнього лівого положення повзуна.

Найбільша швидкість повзуна буде при значеннях кута  :

. (6)

Зрозуміло, що

s_max = 2r . (7)

При  = 0,25 кутову швидкість кривошипу можна визначити з формули:

.

Таким чином, не будуючи діаграм можна за формулами (2) – (7) знайти аналітичні значення кінематичних параметрів механізму, наприклад, кривошипно-шатунного.