1.3. Віконне Фур’є перетворення

Одним з шляхів, який дозволяє певним чином зняти проблему втрати інформації про поведінку сигналу в часі є застосування, так званого віконного перетворення Фур’є.

Уявимо собі, що в цілому не стаціонарний в часі сигнал може бути розділений на ділянки, в межах яких не відбувається зміни характеристик сигналу. Якщо повернутися до нашого прикладу (рис. 1.9а), то сигнал стаціонарний в періоди 0-250 мкс, 250-500 мкс, 500-750 мкс і 750-1000 мкс.

Тоді, якщо впроваджувати Фур’є перетворення для таких стаціонарних ділянок то отримаємо образ, який по перше, як і звичайне Фур’є перетворення, буде нести інформацію про частотні компоненти сигналу. По друге для різних ділянок стаціонарності спектри будуть різні. Отже додатково маємо інформацію про часову поведінку сигналу.

Такий алгоритм може бути реалізований, якщо ввести певну віконну функцію, яка характеризується певною шириною, і рухається в часі вздовж сигналу. Математично таку операцію можна записати у вигляді:

, (1.23)

де – віконна функція.

Віконна функція може бути різного вигляду (див. рис. 1.10)

а б

Рис. 1.10

а – віконна функція у вигляді прямокутного імпульсу; б – «гаусоподібна» віконна функція.

Застосуємо ВПФ до сигналу, зображеному на рисунку 1.9а. Нехай ширина вікна буде сумірна з інтервалом часу на протязі якого існує кожний гармонійний сигнал. Тоді отримаємо результат, подібний до зображеного на рисунку 1.11. На цьому рисунку представлені не тільки позитивні а й негативні частоти.

Рис. 1.11

Отже, здавалося б, що проблему вирішено. Дійсно чотири сплески свідчать про наявність у сигналі чотирьох частотних компонент, а їх різна локалізація вздовж осі часу дає можливість встановити, коли такі компоненти з’являються. Інакше кажучи ВФП забезпечує частотно-часове перетворення сигналу.

Разом з тим ВФП не дає можливості отримати образ, в якому роздільна здатність за частотою і часом були однаково високі. Для ВФП можна отримати високу роздільну здатність за частотою, але в цьому випадку втрачається інформація про часову поведінку сигналу і навпаки, висока роздільна здатність по часу приводить до втрати інформації про частотні компоненти сигналу. Спрацьовує щось подібне до співвідношення невизначеності Гайзенберга в квантовій механіці.

Спробуємо це пояснити. Очевидно, що роздільна здатність образу за часом залежить від ширини віконної функції. Чим менше ширина цієї функції тим вище роздільна здатність.

Будемо зменшувати ширину віконної функції. Відповідно в часовому представленні маємо:

. (1.24)

Згідно з теоремою згортки ВПФ можна представити у вигляді

, (1.25)

де і Фур’є образи сигналу та віконної функції відповідно. Тоді як було показано в пункті 1.4., чим менше ширина вікна (граничний випадок ) тим «ширше» Фур’є образ цієї функції і тим більше «розмивається» образ сигналу, тобто втрачається інформація про частотні компоненти сигналу.

а

б

в

Рис. 1.12. ВПФ для сигналу, зображеному на рисунку 1.9а

для різних ширин віконної функції.

а – найменша ширина віконної функції; б – «середня» ширина віконної функції; в – найбільша ширина віконної функції

Абсолютно аналогічно при збільшенні ширини (граничний випадок ширина безмежна) втрачається інформація про часову поведінку сигналу. Цей факт ілюструється рисунком 1.12 на якому представлені образи сигналу, що складається з чотирьох гармонійних сигналів для вікон різної ширини.

Як бачимо з рисунків при збільшенні ширини вікна збільшується роздільна здатність образу за частотою, проте падає роздільна здатність по часу. З рисунку в практично вже не можливо визначити початок моментів часу, коли починається зміна частоти сигналу.