1.5. Поняття про фільтрацію сигналу

Треба відзначити, що операція фільтрації сигналу як правило здійснюється у випадку, коли сигнал наданий в частотному представленні. В загальному випадку процес фільтрації сигналу можна представити у вигляді такого ланцюжка:

1. – трансформація сигналу до частотного представлення.

2. – множення Фур’є-образу сигналу на фільтруючу функцію (безпосередньо фільтрація).

3. – обернене Фур’є-перетворення, трансформація фільтрованого образу в часове представлення (отримання фільтрованого сигналу).

1.6. Деякі приклади фільтрації

1.6.1. Фільтрація адитивних завад

Відомо, що сигнал з адитивними завадами може бути записаний у вигляді

, (1.28)

де – адитивна завада.

Рис. 1.24

Отже здійснимо першу операцію, отримуємо Фур’є образ від . В силу лінійності Фур’є-перетворення маємо:

, (1.29)

де та – Фур’є-образи сигналу та завади відповідно.

Необхідно відзначити, що як правило, Фур’є образ сигналу займає смугу частот набагато меншу ніж завада (див. рис. 1.24). На рисунку b наданий спектр завади, так званого «білого» шуму, який характеризується постійним середнім рівнем інтенсивності для всіх частот від – до + безмежності. Отже вся енергія шуму рівномірно розподілена вздовж всієї вісі частот. Разом з тим енергія сигналу зосереджена на досить невеликому інтервалі (у порівнянні зі смугою, яку займає завада) . Відповідно, якщо застосувати простий смуговий фільтр

, (1.30)

який має одиничне пропускання в інтервалі частот та нульове пропускання за межами цього інтервалу, левову частку енергії завади буде відрізано.

Відповідно після оберненого Фур’є-перетворення маємо сигнал, який наближається до незашумленого сигналу

. (1.31)

1.6.2. Фільтрація мультиплікативних завад

Нехай маємо сигнал з мультиплікативними завадами:

, (1.32)

Абсолютно зрозуміло, що простою фільтрацією позбутися такою завади не вдасться, оскільки Фур’є-образ від є не що інше як згортка

. (1.33)

Отже перед тим як перейти до процедури фільтрації зробимо ще одну додаткову операцію – логаріфмування сигналу. Тоді замість 1.32 маємо

. (1.34)

Таку операцію досить просто здійснити, якщо пропустити сигнал через логарифмічний підсилювач. Як бачимо з 1.34 після логарифмування мультиплікативна завада перетворилася на «адитивну».

Тому далі основного впливу таких шумів можна позбутися за допомогою смугового фільтру. Природно, щоб отримати сигнал, який наближається до на останньому етапі необхідно пропусти відфільтрований сигнал через експоненціальний підсилювач, що здійснює операцію обернену до логарифмування.

1.6.3. Фільтрація постійної складової

Нехай маємо сигнал з деякою постійною складовою або зі складовою, змінюється значно повільніше ніж сигнал

, (1.35)

Такої постійної «підставки» досить просто позбутися за допомогою фільтру, який відфільтровує дуже вузьку смугу в області низьких частот.

Дійсно в силу лінійності Фур’є-перетворення Фур’є-образ від має вигляд:

. (1.36)

При цьому, якщо час існування сигналу був досить тривалий, то , оскільки, як слідує з таблиці 1.1 Фур’є-образ від одиниці дельта функція. Отже застосувавші фільтр, який відфільтровує дуже вузьку смугу в області нульових частот (така фільтрація практично не впливає на сам сигнал)та зробивши обернене Фур’є-перетворення можна позбутися постійної складової в сигналі.