Розважальні задачі.

Включаючи у логічний практикум ”розважальні задачі“, ми вважаємо, що їх розв’язування буде не лише цікавою і корисною формою проведення дозвілля, а й сприятиме кращому закріпленню на практиці тих методів логічного аналізу, прийомів та правил доказового міркування, з якими ми познайомилися в процесі розв’язування задач попередніх тем.

1. Дві нижче наведених задачі розв’язуються шляхом проведення відносно нескладних дедуктивних умовиводів. Зверніть увагу на етапи розв’язування та на застосування правила modus tollens:

а⊃ в; ⅂ в ⅂ а

а) У темній кімнаті на столі лежать п’ять капелюхів – три чорні та два білі. Троє, попереджених про це чоловіків, зайшовши в цю кімнату, одягли на себе (зрозуміло, не бачачи якого кольору) по капелюху і один за одним вийшли до світлої кімнати. Перший, не обертаючись, запитав у третього: "Якого кольору на Вас капелюх?" "Не знаю" - відповів той. Потім перший поставив таке ж запитання другому і отримав ту ж відповідь. Після цього перший чоловік здогадався, якого кольору капелюха він одягнув на себе. Спробуйте відтворити процес його міркування? Якого кольору на ньому капелюх?

б) У темній кімнаті на столі лежать 7 капелюхів – 2 чорні, 2 білі та 3 сірі. Троє чоловіків (припустимо їх звали Іван, Петро та Степан) надягають у темряві по капелюху і виходять на світло. На цей раз їм дозволяється обертатися і бачити капелюхи один одного. Степан запитав у Івана: ”Скажіть будь ласка, якого кольору капелюха на Вас немає“? Іван відповів: “Не знаю”. Потім Степан поставив те ж запитання Петру і отримав ту ж відповідь. Якого кольору капелюха надів на себе Степан і як він про це здогадався?

2. У наступній серії задач, які придумав відомий американський логік і математик Раймонд Смалліан, у центрі уваги логічна процедура, яка знайома вам по темі ”Судження“, - оцінка можливості одночасної істинності чи хибності декількох суджень. Ці задачі буде легше розв’язувати тому, хто опанував основами класичної логіки висловлювань.

Уявіть острів на якому проживають два племені людей: представники одного племені завжди говорять правду (назвемо їх “лицарями”),

представники іншого – завжди брешуть (назвемо їх ”брехунами”).

а) Перед нами три острів’янина А, В та С. (Кожен з них або лицар, або брехун). Двоє з них висловлюють наступні твердження:

А: ”Ми всі брехуни“.

В: ”Лише один з нас лицар”.

Хто з цих трьох А,В та С лицар, а хто брехун?

б) Умови ті самі, але висловлювання такі:

А: ”Ми всі брехуни“.

В: “Лише один з нас брехун”.

Чи можна на підставі цих висловлювань визначити, хто такий В – лицар чи брехун? Чи можна встановити, хто такий С?

в) У цій задачі два персонажі – А та В. Кожен з них або лицар, або брехун.

А: ”Принаймні один з нас брехун“.

Хто з них лицар, а хто брехун?

г) Умова і запитання ті ж, що й у задачі (в), але висловлювання таке: А: “Я брехун, а В не брехун”.

д) Умова і запитання ті ж, але висловлювання таке:

А: ”Якщо В не лицар то я брехун“.

е) Припустимо тепер, що на острові лицарів і брехунів опинився турист. Гуляючи островом він заблукав, а йому необхідно повернутися до міста. Турист підходить до розвилини двох доріг (назвемо їх умовно 1 та 2) і читає такі дорожні знаки на них.

1: “Цей шлях веде до міста, а інший веде до прірви”.

2: ”Один з цих шляхів веде до міста, а інший - до прірви“.

На запитання туриста, чи правдива інформація, що написана на дорожніх знаках, лицар, що проходив поблизу відповів: “На одному знакові правда, а на іншому брехня”.

Який шлях обрати туристові?

ж) Умова та запитання, на яке необхідно дати відповідь ті ж, що й у задачі (е), але на дорожніх знаках написано:

1: ”Принаймні один з цих шляхів веде до міста“.

2: “Шлях 1 веде до прірви”,

а лицар, що проходив поблизу, сказав: ”Або на обох знаках написана правда, або обидва знаки брешуть”.

з) Припустимо, що турист, який заблукав, виходить до розвилини доріг, на яких немає жодних знаків, проте йому відомо, що одна з доріг веде до міста. Тут же у розвилини, турист зустрічає місцевого жителя, про якого не знає, хто він – лицар чи брехун. До того ж цей житель виявився не балакучим і на всі запитання відповідає коротко – “так“ або “ні”. Однак турист зумів поставити лише одне запитання місцевому жителю, отримати від нього відповідь і вибрати потрібну йому дорогу. Що це за запитання?

и) Турист зустрів на острові двох місцевих жителів (А і В). Він запитав у А: ”Скажіть, будь-ласка, ваш товариш лицар“? На що А відповів : “Так”. Потім турист поставив те ж запитання В. Що відповів В?

і) Умова і запитання ті ж, що і в задачі (и), тільки А відповів ”Ні“.

й) Турист зустрів на острові трьох місцевих жителів – А,В,С. Він запитав у А: “Скажіть будь-ласка, В та С з одного племені”? На що А відповів: ”Так“. Потім турист запитав у С: “Скажіть, будь-ласка, А і В з одного племені”? Що відповів С?

к) Турист зустрів на острові трьох місцевих жителів – А,В,С. А сказав: ”В – брехун“. В сказав: “А і С з одного племені”. Хто такий С – лицар чи брехун?

л) Турист зустрів двох місцевих жителів: А і В. Він запитав у А: ”Чи є серед вас двох принаймні один лицар“? На що А відповів так, що турист дізнався про те, що хотів знати. Хто такий А і хто такий В?

3. Задачі на зважування. У цих задачах необхідно мінімальною кількістю зважувань на точних терезах без гирьок знайти з декількох монет однакової вартості одну фальшиву. Припускається, що

фальшива монета легша.

а) Знайти з 8 монет одну фальшиву двома зважуваннями

б) з 25 монет знайти фальшиву трьома зважуваннями.

в) З якої максимальної кількості монет можна знайти одну фа-

льшиву за чотири зважування.

г) Визначити мінімальну кількість зважувань, за допомогою яких можна знайти одну фальшиву монету із п монет однакової вартості.

4. Пропонуємо вашій увазі декілька старовинних логічних задач.

а) Трьом купцям необхідно поділити між собою 21 барильце квасу, з яких 7 барилець повних, 7 повних на половину і 7 порожніх. Запитується, як їм поділитися так, щоб кожен отримав однакову кількість барилець і однакову кількість

квасу, до того ж переливати квас з барилець не можна.

б) Двоє вирішили розділити порівну сулію квасу місткістю 10 літрів. Проте під руками виявились лише дві порожні банки,

одна місткістю 3 літри, інша – 7 літрів. Як це зробити?

в) Необхідно розділити навпіл сулію квасу місткістю 8 літрів за допомогою двох порожніх банок місткістю 3 та 5 літрів.

5. Ціна ножа.

Це доволі давня, проте мало відома задача дозволяє кожному перевірити не лише свої елементарні математичні, а й логічні здіб-

ності.

У двох братів була отара овець. Вони продали її і за кожну вівцю отримали стільки гривень, скільки голів було в отарі. Виторг почали ділити порівну. Старшому братові – десятка, меншому братові десятка, старшому – десятка, меншому – десятка. І так декілька разів. Потім старший брат взяв свою останню десятку, а меншому декількох гривень не вистачило. Тоді старший вийняв з кишені ножа і віддав братові як компенсацію за суму, котрої не вистачало.

Запитується: скільки коштує ніж?

6. З 37 чоловік, які вивчають іноземні мови, німецькою володіють 15 чоловік, англійською – 13, французькою – 16. Четверо володіють і англійською і французькою, 2 – німецькою і французькою, 2 – німецькою і англійською. Скільки чоловік володіють всіма трьома мовами? Скільки володіють однією і тільки однією мовою?