1.4.3. Взаимное положение прямой и плоскости

Прямая может пересекаться с плоскостью, быть параллельной плоскости или принадлежать ей. Если прямая l пересекается, параллельна или принадлежит плоскости Т, то вместе с тем она будет соответственно пересекаться (рис. 1.38), совпадать (рис. 1.39) или будет параллельна прямой b, принадлежащей этой плоскости (рис. 1.40). Справедливы и обратные положения.

Т

Рис. 1.38	Рис. 1.39	Рис. 1.40

аким образом, чтобы определить взаимное положение прямой l и плоскости Т, нужно построить вспомогательную прямую b, конкурирующую с прямой l и принадлежащую плоскости Т. Если прямые l и b пересекаются в некоторой точке К, то в этой точке прямая l пересекается с плоскостью. Если же прямые l и b совпадают или параллельны, то прямая l соответственно принадлежит или параллельна плоскости Т.

Рассмотрим примеры. На рис. 1.41, 1.42 и 1.43 изображены комплексные чертежи прямой l и Т(АВС) – нисходящая плоскость. Определим взаимное положение этих объектов.

П

Рис. 1.41	Рис. 1.42	Рис. 1.43

остроим вспомогательную прямую b, горизонтально конкурирующую с прямой l и принадлежащую плоскости Т. С этой целью на прямых АВ и ВС, которые задают плоскость Т, выделим точки 1 и 2, горизонтально конкурирующие с прямой l.

Первоначально с этой целью определим горизонтальные проекции 1₁ и 2₁ точек пересечения прямых АВ и ВС, которые задают плоскость Т, с прямой l. После этого, используя линии проекционных связей по принадлежности к линиям АВ и ВС, найдем фронтальные проекции точек 1₂ и 2₂.

Точки 1 и 2 задают прямую b, которая принадлежит плоскости Т и горизонтально конкурирует с прямой l. Теперь можно определить относительное положение прямых l и b.

По полю проекций П₂ (рис 1.41) видно, что прямые l и b пересекаются в точке К (при этом сначала определяется ее фронтальная проекция К₂, а затем горизонтальная проекция К₁ (рис. 1.41). Точка К будет также точкой пересечения прямой l с плоскостью Т.

Если же при построении вспомогательной прямой b окажется, что прямая l параллельна прямой b (рис. 1.42), то это условие совместно с условием означает, что и, значит, прямая l параллельна плоскости Т.

Если же в результате построения вспомогательной прямой b окажется, что ( и ) (рис. 1.43), то прямая l принадлежит плоскости Т.

1.4.4. Взаимное положение точки и плоскости

Т

Рис. 1.44

очка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, принадлежащей этой плоскости. Если это условие не выполняется, то точка находится вне пределов плоскости, т. е. при использовании системы плоскостей проекций П₁, П₂ точка может лежать перед или дальше, над или под плоскостью. Рассмотрим несколько примеров на рис. 1.44, где на комплексном чертеже задана Т( ) – восходящая плоскость.

1. Точка А принадлежит плоскости Т, т. к. проекции точки А принадлежат одноименным проекциям прямой m, которая в свою очередь принадлежит плоскости Т :

.

2. Очевидно, что точка В не принадлежит плоскости Т, т. к. ее проекции принадлежат не одноименным проекциям прямых m и n.

3. Точка , т. к. она принадлежит вспомогательной прямой 12, которая построена принадлежащей плоскости Т.

4. Точки M и D , а точки N и E, находящиеся с ними попарно в проекционных связях, располагаются следующим образом:

• точка N находится выше точки M, т. е. над плоскостью Т;

• точка E находится ближе точки D, т. е. перед плоскостью Т.

В заключении решим обратную позиционную задачу. Определить положение точек M и N относительно плоскости Т(l,A) (рис. 1.45).

В

Рис. 1.45

первом случае сначала необходимо провести вспомогательную прямую А1 фронтально или горизонтально конкурирующую с точкой М и принадлежащую плоскости Т. Так как проекции точки М принадлежат одноименным проекциям прямой А1, то она принадлежит плоскости Т.

Во втором случае необходимо провести вспомогательную прямую А2, фронтально конкурирующую с точкой N и принадлежащую плоскости Т. Точка N находится перед фронтально конкурирующей с ней точкой (на рис. 1.45 помечена х) принадлежащей прямой А2, следовательно также принадлежащей плоскости Т, а значит, и перед самой плоскостью Т.