1.7. Взаимное положение поверхностей
Возможны три случая взаимного положения поверхностей (включая и плоскости):
поверхности не пересекаются и не имеют общих действительных точек;
поверхности касаются, т. е. имеют общие двойные точки или линии;
поверхности пересекаются, т. е. имеют одну или несколько общих линий.
Если поверхности не пересекаются, то интерес представляет только задача по определению видимости их контуров, которая решается элементарно на комплексном чертеже.
1.7.1. Плоскость, касательная к поверхности
Е
Рис. 1.70
В дифференциальной геометрии доказано,
что касательная плоскость к поверхности
в заданной точке представляет собой
множество прямых, проходящих по
поверхности через данную точку. Очевидно,
что для построения касательной плоскости
к поверхности Ф в ее точке А
достаточно через эту точку провести
на поверхности только две кривые линии
a и b
и к ним построить касательные прямые
и
,
которые и определяют касательную
плоскость Τ.
На рис. 1.70 показан пример построения касательной плоскости Τ к сфере Ф в ее точке А.
Для определения касательных прямых
целесообразно выбирать графически
простые линии, принадлежащие поверхности
Ф. Поэтому через точку А
проведем фронталь сферы – окружность
a и
горизонталь – окружность b.
К этим линиям строим касательные прямые
и
,
которые полностью определяют касательную
плоскость
.
1.7.2. Взаимное пересечение поверхностей
Результатом пересечения двух поверхностей является линия (линии), точки которой принадлежат каждой из пересекающихся поверхностей. Поэтому построение линии пересечения двух поверхностей Ф и Т сводится к нахождению общих точек, принадлежащих как к множеству точек, составляющих поверхность Ф, так и другому множеству точек, входящих в состав поверхности Т.
В начертательной геометрии наиболее часто для построения этих точек используется способ вспомогательных секущих поверхностей (поверхностей- посредников). Суть его заключается в следующем.
Две заданные поверхности Ф и
Т пересекают третьей, вспомогательной
поверхностью Σ. Находят линии
пересечения ее с заданными поверхностями
–
и
.
Далее отмечают точку (точки), в которой
пересекаются полученные линии n
и m:
.
Повторив эти операции много раз, получают конечное множество точек, принадлежащих искомой линии пересечения заданных поверхностей: . Плавная линия (линии), соединяющая эти точки, является линией пересечения поверхностей Ф и Т.
При выборе поверхностей-посредников следует стремиться к тому, чтобы линии ее пересечения с заданными поверхностями были графически простыми (прямые или окружности). В связи с этим, наиболее часто в качестве поверхностей посредников применяют плоскости или сферы, в зависимости от чего выделяют два способа решения, которые называют способами вспомогательных плоскостей или сфер. Применение того или иного способа зависит как от типа заданных пересекающихся поверхностей, так и от их взаимного положения.
Каким бы способом ни производилось построение линии пересечения поверхностей, при нахождении точек этой линии целесообразно соблюдать определенную последовательность. Дело в том, что у линии пересечения поверхностей различают точки опорные и произвольные, или общие.
К опорным относятся экстремальные точки и точки видимости. Экстремальные точки это – высшая и низшая тоски, самая ближняя и самая дальняя, самая левая и самая правая точки линии пересечения поверхностей. Эти точки определяют в первую очередь, т. к. они позволяют видеть, в каких пределах расположены проекции линии пересечения и где между ними имеет смысл определять общие точки для более точного построения линии пересечения поверхностей.
Определение видимости линии пересечения поверхностей производится отдельно для каждого ее участка, ограниченного точками видимости, при этом видимость участка линии совпадает с видимостью какой-нибудь точкой, принадлежащей этому участку.
Кроме того, при построении линии пересечения поверхностей необходимо иметь в виду, что ее проекции на комплексном чертеже всегда располагаются в пределах площади наложения одноименных проекций пересекающихся поверхностей.
1.7.3. Построение линий пересечения поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей
В
Рис. 1.71
Построим линию пересечения конуса вращения Ф(i,m) с поверхностью, которая задана треугольником Т(АВС) (рис. 1.71).
Сначала найдем экстремальные точки, а именно самые нижние. Для этой цели проведем фронтально проецирующую вспомогательную секущую плоскость Σ, проходящую через основание конуса.
Плоскость Σ, пересекаясь с конусом Ф, даст окружность с, а с плоскостью Т – прямую е(А,В). Эти две линии пересекаются и дают две самые нижние точки D и Е линии пересечения заданных поверхностей.
Для определения самой верхней точки пересечения поверхностей целесообразно воспользоваться проецирующей секущей плоскостью Δ, след которой на горизонтальном поле проекций проведем через ось конуса i1 в направлении, перпендикулярном горизонтальной проекции линии АС. Плоскость Δ пересекает конус по образующей b, а плоскость – по прямой d. Эти линии в свою очередь пересекаются и дают самую верхнюю точку F линии пересечения заданных поверхностей.
Воспользовавшись фронтально проецирующей секущей плоскостью ΣI, получаем две произвольные точки G и H, которые позволяют более полно представить форму линии пересечения l конуса вращения и плоскости.
П
Рис. 1.72
Построим линию пересечения двух криволинейных поверхностей: конуса вращения Ф(i,m) и сферы Т(j,n) (рис. 1.72).
Самая верхняя А и самая нижняя F точки линии пересечения l этих поверхностей в рассматриваемом примере могут быть найдены на пересечении фронтальных очерков конуса и сферы.
Если воспользоваться фронтально проецирующей вспомогательной секущей плоскостью Σ, то можно найти точки В и С линии l, которые принадлежат горизонтальному очерку сферы. Следовательно, эти точки определяют на горизонтальном поле проекций переход видимой части в невидимую часть линии пересечения l.
Воспользовавшись фронтально проецирующей секущей плоскостью ΣI, получаем две произвольные точки D и E, которые позволяют более полно представить форму линии пересечения l конуса вращения и сферы.