1.6. Взаимное положени линии и поверхности

Различают четыре возможных варианта взаимного положения линии и поверхности:

• линия и поверхность не имеют общих точек;

• линия касается поверхности;

• линия принадлежит поверхности;

• линия пересекает поверхность.

Первый вариант не рассматривают, т. к. он не имеет практического применения. Способ построения линий, принадлежащих поверхности основан на использовании ее каркаса и рассмотрен на примерах разработки комплексных чертежей поверхностей (рис. 1.54 и 1.57).

1.6.1. Построение касательной к поверхности

З

Рис. 1.65

адачу на построение касательной к поверхности сводят к построению касательной к линии, которая принадлежит поверхности и проходит через заданную точку.

Рассмотрим пример построения касательной в точке А к конусу вращения. Конус зададим как поверхность вращения Ф(i,n) (рис. 1.65).

1. Сначала через заданную точку А проведем линию a – параллель поверхности вращения Ф.

2. К линии a через точку А строим касательную – перпендикуляр к радиусу параллели, который проведен через точку А.

3. С учетом того, что , является одновременно и касательной к Ф.

Через точку А можно провести бесконечное множество касательных к линиям, принадлежащим поверхности Ф. На рис. 1.65 показана касательная к поверхности конуса Ф, которая касается этой поверхности по линии образующей c.

1.6.2. Пересечение линии с поверхностью

Для построения точек пересечения линии l с какой-либо поверхностью Ф используются такие же приемы, как при решении задач на взаимное пересечение прямой с поверхностью (раздел 1.4.3):

• ч

  Рис. 1.66

  ерез линию l проводят вспомогательную секущую поверхность Σ (рис. 1.66);

• строят линию пересечения вспомогательной секущей поверхности с заданной поверхностью Ф ;

• определяют точку К пересечения полученной линии m с заданной линией l (точка может быть и не единственная). Полученная точка (точки) и будут искомой точкой пересечения линии с поверхностью.

В

Рис. 1.67

качестве вспомогательной секущей поверхности Σ целесообразно использовать проецирующую цилиндрическую поверхность, направляющей которой должна служить заданная линия l, а прямолинейными образующими – проецирующие прямые.

Если линией l является прямая или плоская кривая, расположенная в проецирующей плоскости, то вспомогательной поверхностью Σ может быть плоскость.

На рис. 1.67 показано решение задачи на пересечение прямой l со сферой, которая задана в виде поверхности вращения Ф(i,n).

Здесь через прямую l проведена фронтально проецирующая вспомогательная плоскость Σ, которая пересекает поверхность Ф по линии m( в настоящем примере это эллипс). Искомые точки, в которых прямая пересекает поверхность, обозначены буквами K и N.

Иногда в качестве вспомогательной секущей плоскости целесообразно использовать плоскость общего положения. Она применяется в тех случаях, когда проекции линий пересечения этой плоскости с заданной поверхностью являются графически простыми линями. Например, для линейчатых поверхностей можно получить прямую линию пересечения.

Н

Рис. 1.68

а рис. 1.68 коническая поверхность задана вершиной S и направляющей n, принадлежащей плоскости проекций П₁. В качестве вспомогательной секущей поверхности возьмем такую плоскость Σ, которой принадлежала бы заданная прямая l и которая пересекала бы коническую поверхность по образующим.

О

Рис. 1.69

чевидно, что такая вспомогательная плоскость может быть задана прямой l и точкой S – вершиной конической поверхности. Если теперь на прямой l выбрать точку 1, то вспомогательная секущая плоскость получается заданной двумя пересекающимися прямыми Σ (l∩S1) (рис. 1.68).

Плоскость Σ проходит через вершину конуса S и точки 2 и 3, которые лежат в плоскости его основания. Прямая 23, пересекая основание конуса, дает точки 4 и 5, через которые проводят образующие конуса S4 и S5. Эти образующие, пересекаясь с прямой l, определяют искомые точки пересечения K (l∩S4) и L (l∩S1) прямой и конуса.

Те же обозначения даны в решении этого примера на комплексном чертеже (рис. 1.69).