Б. Основных операций с геометрическими объектами

1. Совпадение проекций геометрических объектов обозначается знаком ≡, например: m ≡ n – линия m совпадает с линией n.

2. Принадлежность (инцидентность) одного геометрического объекта другому – знаком , например: A  m – точка A принадлежит линии m.

3. Пересечение двух геометрических объектов – знаком ∩, например: m ∩ n – линия m пересекается с линией.

4. Результат геометрической операции – знаком =, например: a ∩ Σ = K – линия a пересекает поверхность Σ в точке K.

5. Объединение множеств – знаком , например:  множество точек L образуют линию l.

6. Логическое следствие (импликация) – знаком , например:  точка А принадлежит прямой l, если проекции точки принадлежат одноименным проекциям прямой.

1.1. Метод проецирования

Все события окружающего нас мира происходят в пространстве. Пространство, в котором мы живём, называют физическим пространством. Когда же, пытаясь размышлять о нем, мы вырабатываем определенные понятия, возникает геометрическое пространство. Первое  исходный объект, второе  его образная модель.

В физическом пространстве нет точек, линий и поверхностей, а есть тела, предметы и другие объекты окружающего нас мира. В геометрическом пространстве наоборот: тела существуют лишь постольку, поскольку они формируются точками, линиями и поверхностями.

Пространство заполнено точками. Точка  это элементарный объект, т. к. она не может быть определена другими более элементарными понятиями.

Из точек складываются линии, в частности прямые линии. Из линий – поверхности, в частности «прямые» поверхности, т. е. плоскости.

В начертательной геометрии при получении изображений объектов необходимо, чтобы каждой точке пространства соответствовала точка на плоскости. Исходя из этого, при использовании метода проецирования (от латинского слова «projecere»  бросать вперед) через каждую точку объекта проводится линия до пересечения с плоскостью изображения.

В зависимости от вида проецирующей линии (прямая, кривая) различают аппарат прямолинейного или криволинейного проецирования. В данном учебном пособии излагается метод прямолинейного проецирования.

Проведение проецирующих прямых должно подчиняться определенному закону:

• если проецирующие прямые проходят через одну точку пространства, то имеем центральное проецирование;

• если проецирующие прямые проводятся параллельно какому-нибудь направлению, то получим параллельное проецирование.

При центральном проецировании аппарат проецирования (рис. 1.1) состоит:

• из плоскости П₁, называемой плоскостью проекций;

• из точки S, называемой центром проекций.

Чтобы спроецировать точку A пространства на плоскость П₁, проводим через нее и центр проекций S проецирующий луч до пересечения с плоскостью проекций П₁. Получим точку A₁, которую называют центральной проекцией точки А.

Е

Рис. 1.1

сли на проецирующем луче А₁S взять другую точку В, то ее центральная проекция В₁ совпадает с А₁. Следовательно, при заданных плоскости проекций и центре проекций можно построить проекцию любой точки, но, имея центральную проекцию точки, нельзя по ней однозначно определить положение самой точки в пространстве.

Каждую пространственную фигуру можно рассматривать как совокупность (множество) точек. Однако, для построения проекции фигуры в некоторых случаях не обязательно проецировать все ее точки. Так, проекция отрезка прямой линии АС вполне определяется проекциями двух точек А₁ и С₁ (рис. 1.1).

Центральная проекция обладает следующими свойствами.

1. Проекцией точки является точка (однозначность).

2. Проекцией прямой является прямая (коллинейность).

3. Точка (например М), принадлежащая прямой, проецируется в точку (М₁), принадлежащую проекции этой прямой (инцидентность).

Изображения объектов, полученных методом центрального проецирования, отличаются большой наглядностью, но они сложны при построении. Поэтому большее распространение получило параллельное проецирование.

Параллельной проекцией точки А является точка А₁ проецирующей прямой, проведенной параллельно заданному направлению S до пересечения с плоскостью проекций П₁ (рис. 1.2).

Чтобы получить параллельную проекцию некоторой линии, например m (рис.1.2), можно построить проекции ряда ее точек и провести через эти проекции линию m₁.

П

Рис. 1.2

араллельная проекция, являясь частным случаем центральной проекции, сохраняет все ее свойства. В то же время, параллельные проекции обладают свойствами, отличающими ее от центральной проекции.

4. Если прямые параллельны (например l и m на рис. 1.2), то при параллельном проецировании их проекции (l₁ и m₁) или параллельны, или совпадают, или обе прямые проецируются в точки.

5. Отношение проекций отрезков, лежащих на параллельных прямых или одной и той же прямой, равно отношению самих отрезков. Например, если точка B (рис. 1.2) принадлежит отрезку АC, то при параллельном проецировании выполняется простое отношение трех точек:

.

Еще большее упрощение построения изображения дает применение ортогонального проецирования, являющегося частным случаем параллельного проецирования, когда направление проецирования S перпендикулярно плоскости проекций П₁._.

В ортогональной проекции просто устанавливается соотношение между длиной натурального отрезка и длиной ее проекции. Это соотношение является шестым свойством линейного параллельного ортогонального проецирования.

6. Е

   Рис. 1.3

   сли отрезок АВ образует с плоскостью проекций угол α, то, проведя (рис. 1.3), получим из прямоугольного треугольника АВ*В:

AB* = ABcosα

или A₁B₁ = ABcosα .

Рассмотренные выше методы проецирования позволяют однозначно отображать любую точку (и все множество точек) пространства на плоскость проекций, при этом обратную задачу по реконструкции объекта в пространстве решить не представляется возможным.

Так как проекционные изображения должны отвечать требованию обратимости, то возникла задача по дополнению однокартинных проекционных изображений необходимыми данными. Существуют различные методы такого дополнения.