6.5. Численные методы в схемотехническом моделировании

В основе алгоритмов расчета на ЭВМ лежат численные методы. При их реализации в процессе схемотехнического моделирования функции часто задаются в табличной форме, т.е. вместо функции y=f(x) имеются пары значений , i=0,1,2…. Для определения промежуточных значений требуется аппроксимация, т.е. необходимо подобрать функцию S(x), которая наилучшим образом отображает таблично заданную функцию.

Здесь возможна точечная аппроксимация, если нас интересует конечная промежуточная точка, локальная аппроксимация, если требуется аппроксимировать отдельный участок функции или глобальная аппроксимация, если необходимы все значения .

Качество аппроксимации оценивается при среднеквадратическом приближении ошибкой , а при равномерном приближении ошибкой ε=max{│S(x_i)−f(x_i)│}.

Таким образом, при оценке с равномерным приближением требования к S(x) ,более жесткие, чем при оценке со среднеквадратическим приближением для одинаковой величины ε.

равномерное приближение среднеквадратическое приближение

Рис. 6.11. Аппроксимация S(x) функции f(x) с одинаковой ошибкой ε при равномерном и среднеквадратическом приближении

Если необходимо обеспечить точное совпадение S(x) со всеми точками х_i, то требуется интерполяция. Таким образом, задача аппроксимации ужесточается и превращается в задачу интерполяции.

Рис. 6.12. Аппроксимация и интерполяция таблично заданной функции

Различают следующие виды интерполяции:

1. линейная, при которой пары соседних точек соединяются отрезками прямых,

Рис. 6.13. Линейная интерполяция

2. квадратичная, при которой пары соседних точек соединяются параболами,

Рис. 6.14. Квадратичная интерполяция

3) интерполяция многочленом k-й степени (существует ряд многочленов, например, Лагранжа, Эрмита, Ньютона, Стирлинга, Бесселя, Эверетта, Стефферсена и др., каждый из которых оптимален при конкретных случаях),

4) итерационная интерполяция, основанная на многократном применении простых алгоритмов интерполяции (например, алгоритм Эйткена использует многократную линейную интерполяцию),

5) сплайн-интерполяция, позволяющая получить более «гладкую» интерполяцию с отсутствием изломов функции в точках перехода от участка к участку (сплайн-функция – это разновидность многочлена).

6) метод наименьших квадратов, при котором используется многочлен со специально подобранными коэффициентами, обеспечивающими минимум среднеквадратической ошибки.

6.6. Моделирование статического режима

Расчет статического режима может иметь самостоятельное значение, например, составление карты рабочих режимов по постоянному току. Однако, часто этот расчет является частью более сложных задач. Например, переходной процесс можно представить совокупностью квазистатических режимов в отдельные моменты времени, в каждом из которых необходимо выполнить законы равновесия.

Существуют несколько методов моделирования данного режима, условная классификация которых приведена на рисунке ниже.

Рис. 6.12. Классификация методов моделирования статического режима