Глава 2.Случайные величины

2.1. Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины

Одним из важнейших понятий теории вероятностей (наряду со слу­чайным событием и вероятностью) является понятие случайной вели­чины. Под случайной величиной понимают величину, которая в результате опыта принимает то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.

Случайные величины (сокращенно: с. в.) обозначаются прописны­ми латинскими буквами Х,У, Z,... (или строчными греческими буква­ми ξ (кси), η(эта), θ (тэта), ψ (пси) и т. д.), а принимаемые ими значения соответственно малыми буквами х₁, х₂ ,…, у₁, у₂, у₃…

Примерами с. в. могут служить: 1) X — число очков, появляющих­ся при бросании игральной кости; 2) У — число выстрелов до первого попадания в цель; 3) Z — время безотказной работы прибора и т. п. (рост человека, курс доллара, количество бракованных деталей в пар­тии, температура воздуха, выигрыш игрока, координата точки при слу­чайном выборе ее на [0; 1], прибыль фирмы, ...).

Случайная величина, принимающая конечное или счетное множе­ство значений, называется дискретной (сокращенно: д.с.в.).

Если же множество возможных значений с. в. несчетно, то такая величина называется непрерывной (сокращенно: н.с. в.).

То есть д. с. в. принимает отдельные изолированные друг от дру­га значения, а н. с. в. может принимать любые значения из некоторого промежутка (например, значения на отрезке, на всей числовой прямой и т.д.). Случайные величины X и У (примеры 1) и 2)) являются дис­кретными. Св. Z (пример 3)) является непрерывной: ее возможные значения принадлежат промежутку [0,t), где t ≥ 0, правая граница не определена (теоретически t =+∞). Отметим, что рассматриваются также с. в. смешанного типа.

Дадим теперь строгое определение св., исходя из теоретико-мно­жественной трактовки основных понятий теории вероятностей.

Случайной величиной X называется числовая функция, опреде­ленная на пространстве элементарных событий Ώ, которая каждому элементарному событию w ставит в соответствие число X(w), т.е. X = X(w), w  Ώ (или X = f(w)).

Пример. Опыт состоит в бросании монеты 2 раза. На ПЭС Ώ={ w₁, w₂, w₃, w₄}, где w₁ = ГГ, w₂ = ГР, w₃ = РГ, w₁ = РР, можно рассмотреть с. в. X — число появлений герба. С. в. X является функ­цией от элементарного события w_i: X(w₁) = 2, X(w₂) = 1, X(w₃) = 1, X(w₄)= 0; X — д. с. в. со значениями x₁ = 0, x₂=1, x₃ = 2.

Отметим, что если множество Ώ конечно или счетно, то случай­ной величиной является любая функция, определенная на Ώ. В общем случае функция X(w) должна быть такова, чтобы для любых x R событие А = {w : X(w) < х} принадлежало -алгебре множеств S и, значит, для любого такого события была определена вероятность Р(А) = Р(Х < х).

Для полного описания с. в. недостаточно лишь знания ее возмож­ных значений: необходимо еще знать вероятности этих значений.

Любое правило (таблица, функция, график), позволяющее нахо­дить вероятности произвольных событий А  S (S — -алгебра собы­тий пространства Ώ), в частности, указывающее вероятности отдель­ных значений случайной величины или множества этих значений, на­зывается законом распределения случайной величины (или просто: рас­пределением). Про св. говорят, что «она подчиняется данному закону распределения».