1.8. Элементы комбинаторики

Согласно классическому определению подсчет вероятности собы­тия А сводится к подсчету числа благоприятствующих ему исходов. Делают это обычно комбинаторными методами.

Комбинаторика — раздел математики, в котором изучаются за­дачи выбора элементов из заданного множества и расположения их в группы по заданным правилам, в частности задачи о подсчете числа комбинаций (выборок), получаемых из элементов заданного конечно­го множества. В каждой из них требуется подсчитать число возмож­ных вариантов осуществления некоторого действия, ответить на вопрос «сколькими способами?».

Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью сле­дующих двух важных правил, называемых соответственно правилами умножения и сложения.

Правило умножения (основной принцип): если из некоторого конечного множества первый объект (элемент х) можно выбрать п1 способами и после каждого такого выбора второй объект (элемент у) можно выбрать n2 способами, то оба объекта (х и у) в указанном поряке можно выбрать п1 • n2 способами.

Этот принцип, очевидно, распространяется на случай трех и больше объектов.

Пример 1.7. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 2, 3, 4, 5, если: а) цифры не повторяются? б) цифры могут повторяться

Имеется 5 различных способов выбора цифры для первого места (слева в трехзначном числе). После того как первое место занято, например, цифрой 2, осталось четыре цифры для заполнения второго места. Для заполнения третьего места остается выбор из трех цифр. Следовательно, согласно правилу умножения имеется 5 • 4 • 3 = 60 способов расстановки цифр, т. е. искомое число трехзначных чисел есть 60. (Вот некоторые из этих чисел: 243, 541, 514, 132, ...) Понятно, если цифры могут повторяться, то трехзначных чисел 5 • 5 • 5 = (Вот некоторые из них: 255, 333, 414, 111, ...)

Правило суммы. Если некоторый объект х можно выбрать n1 способами, а объект у можно выбрать n2 способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из указанных объектов (х или у), можно выбрать п1 + n2 способами.

Это правило распространяется на любое конечное число объектов.

Пример 1.8. В студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколь­кими способами можно выбрать, для выполнения различных заданий, двух студентов одного пола?

По правилу умножения двух девушек можно выбрать 14 • 13 = 182 способами, а двух юношей — 6 • 5 = 30 способами. Следует выбрать двух студентов одного пола: двух студенток или двух юношей. Соглас­но правилу сложения таких способов выбора будет 182+ 30 = 212. •

Решение вероятностных (и не только их) задач часто облегчается, если использовать комбинаторные формулы. Каждая из них опреде­ляет число всевозможных исходов в некотором опыте (эксперименте), состоящем в выборе наудачу т элементов из п различных элементов рассматриваемого множества.

Существуют две схемы выбора m элементов (0 < т  п) из исходного множества: без возвращения (без повторений) и с возвращением (с повторением). В первом случае выбранные элементы не возвращаются обратно; можно отобрать сразу все т элементов или последовательно отбирать их по одному. Во второй схеме выбор осуществляется поэле­ментно с обязательным возвращением отобранного элемента на каждом шаге.

Схема выбора без возвращений

Пусть дано множество, состоящее из п различных элементов.

Размещением из п элементов по т элементов (0 < т  п) называется любое упорядоченное подмножество данного множества, содер­жащее т элементов.

Из определения вытекает, что размещения — это выборки (комби­нации), состоящие из т элементов, которые отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.

Число размещений из п элементов по т элементов обозначается символом («А из эн по эм») и вычисляется по формуле

= п(п-1)(п-2)... (п-т + 1) (1.4)

или

= , где п! = l23..n 1! = 1, 0! = 1. (1.5)

Для составления размещения надо выбрать т элементов из множества с n элементами и упорядочить их, т. е. заполнить т мест элементами множества. Первый элемент можно выбрать n способами, т. е. на первое место можно поместить любой из n элементов. После этого второй элемент можно выбрать из оставшихся n — 1 элементов п — 1 способами. Для выбора третьего элемента имеется n — 2 способа, четвертого — n — 3 способа, и, наконец, для последнего m-го элемен­та — (n — (т — 1)) способов. Таким образом, по правилу умножения, существует п(п — 1) (n — 2)... (п — (т — 1)) способов выбора т элементов из данных п элементов, т. е. = п(п — 1)(п — 2)... (п — т + 1). ■

Пример 1.9. Составить различные размещения по 2 из элементов мно­жества D = {а,b,с}; подсчитать их число.

Из трех элементов можно образовать следующие размещения по два элемента: (а, b), (b, а), (а, с), (с, а), (b, с), (с, b). Согласно форму­ле (1.4) их число: = 3 • 2 = 6.

Перестановкой из n элементов называется размещение из n эле­ментов по п элементов.

Из определения вытекает, что перестановки — это выборки (ком­бинации), состоящие из п элементов и отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов. Число перестановок из п эле­ментов обозначается символом Р_п («пэ из эн») и вычисляется по фор­муле

Р_п = п!. (1.6)

Формула (1.6) следует из определения перестановки:

Пример 1.10. Составить различные перестановки из элементов мно­жества Е = {2,7,8}; подсчитать их число.

Из элементов данного множества можно составить следующие пе­рестановки: (2,7,8); (2,8,7); (7,2,8); (7,8,2); (8,2,7); (8,7,2). По фор­муле (1.6) имеем: = 3! = 1 • 2 • 3 = 6.

Сочетанием из п элементов по m (0  m  п) элементов назы­вается любое подмножество, которое содержит т элементов данного множества.

Из определения вытекает, что сочетания — это выборки (комбина­ции), каждая из которых состоит из т элементов, взятых из данных п элементов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним эле­ментом, т. е. отличаются только составом элементов.

Число сочетаний из п элементов по т элементов обозначается сим­волом («цэ из эн по эм») и вычисляется по формуле

(1.7)

или

(1.8)

Число размещений из п элементов по т элементов можно най­ти следующим образом: выбрать т элементов из множества, содержа­щего п элементов (это можно сделать способами): затем в каж­дом из полученных сочетаний (подмножеств) сделать все перестанов­ки для упорядочения подмножеств (это можно сделать Р_т способа­ми). Следовательно, согласно правилу умножения, можно записать:

Р_т. Отсюда = или

Можно показать, что имеют место формулы:

(mn) (1.9)

(1.10)

(1  m  n) (1.11)

Формулу (1.9) удобно использовать при вычислении сочетаний, когда

m> . Так, = 105. Формула (1.10) выражает число

всех подмножеств множества из п элементов (оно равно ).

Пример 1.12. Составить различные сочетания по 2 из элементов множества D = {а, b, с}; подсчитать их число.

Из трех элементов можно образовать следующие сочетания по 2 элемента: (а, b); (а,с); (b, с). Их число: = 3 (формула (1.7)

Схема выбора с возвращением

Если при выборке т элементов из п элементы возвращаются обратно и упорядочиваются, то говорят, что это размещения с повторениями.

Размещения с повторениями могут отличаться друг от друга элементами, их порядком и количеством повторений элементов. Число всех размещений из п элементов по т с повторениями обозначается символом и вычисляется по формуле

(1. 12)

Пример 1.14. Из 3 элементов а, b, с составить все размещения по два элемента с повторениями.

По формуле (1.12) число размещений по два с повторениями равно = 9. Это: (а,а), (а,b), (а,с), (b,b), (b,а), (b,с), (с,с), (с,а), (с, b).

Если при выборке т элементов из п элементы возвращаются обрат­но без последующего упорядочивания, то говорят, что это сочетания с повторениями.

Число всех сочетаний из п элементов по т с повторениями обозна­чается символом и вычисляется по формуле

(1.13)

Пример 1.16. Из трех элементов а, b, с составить все сочетания по два элемента с повторениями.

По формуле (1.13) число сочетаний по два с повторениями равно =6. Составляем эти сочетания с повторени­ями: (а,а), (а,b), (а, с), (b, b), (b,с), (с, с).

Пусть в множестве с п элементами есть к различных элементов, при этом 1-й элемент повторяется n₁ раз, 2-й элемент — п₂ раз ..., k -й элемент — п_к раз, причем n₁ + п₂ + … + п_к = n.

Перестановки из п элементов данного множества называют пере­становками с повторениями из п элементов.

Число перестановок с повторениями из п элементов обозначается символом Р_п(n₁ , п₂ , … п_к ) и вычисляется по формуле

(1.14)

Пример 1.18. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 3, 3, 5, 5, 8?

Применим формулу (1.14). Здесь п = 5, n₁ = 2, п₂ = 2, n₃ =1. Чи­сло различных пятизначных чисел, содержащих цифры 3, 5 и 8, равно Р₅(2,2,1) = =30.