6.4. Графическое изображение статистического распределения

Статистическое распределение изображается графически (для на­глядности) в виде так называемых полигона и гистограммы. Полигон, как правило, служит для изображения дискретного (т. е. варианты от­личаются на постоянную величину) статистического ряда.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединя­ют точки с координатами (х₁, n₁), (х₂, n₂), ... ,( х_k, n_k), полигоном частостей — с координатами (х₁, p^*₁), (х₂, p^*₂), …, (х_k, p^*_k)-

Варианты (х_i) откладываются на оси абсцисс, а частоты и, соот­ветственно, частости — на оси ординат.

Рис. 60

Пример 6.5. Для примера 6.2 (п. 6.3) полигон частостей имеет вид, изображенный на рис. 60.

Заметим, что p^*₁+p^*₂+…+ p^*_k =1.

Как видно, полигон частостей является статистическим аналогом многоугольника распределения (см. п. 2.2).

Для непрерывно распределенного признака (т. е. варианты могут отличаться один от другого на сколь угодно малую величину) можно построить полигон частот, взяв середины интервалов в качестве значений х₁, х₂,…,х_k. Более употребительна так называемая гистограмма

Гистограммой частот (частостей) называют ступенчатую фигу­ру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат ча­стичные интервалы длины h, а высоты равны отношению — плотность частоты ( или - плотности частости).

Очевидно, площадь гистограммы частот равна объему выборки, площадь гистограммы частостей равна единице.

Пример 6.6. Используя условие и результаты примера 6.3 из п. 6.3 построить гистограмму частостей.

В данном случае длина интервала равна h = 6. Находим высоты h_i прямоугольников: h₁ = , h₂ = , h₃ = , h₄ = , h₅ = , h₆ = .

Гистограмма частостей изображена на рис. 61.

Гистограмма частот является статистическим аналогом дифференциала функции распределения (плотности) f(x) с.в. X. Сумма

площадей прямоугольников равна единице

что соответствует условию

для плотности вероятностей f(x) (см. п. 2.4). На рис. 61 показана и плотность вероятностей f(x).

Если соединить середины верхних оснований прямоугольников от­резками прямой, то получим полигон того же распределения.

6.5. Числовые характеристики статистического распределения

Для выборки можно определить ряд числовых характеристик, ана­логичным тем, что в теории вероятностей определялись для случайных величин (см. п. 2.5).

Пусть статистическое распределение выборки объема n имеет вид:

xi	x1	x2	x3	…	xk
ni	n1	n2	n3	…	nk

(6.3)

Выборочным средним называется среднее арифметическое всех значений выборки:

(6.4)

Выборочное среднее можно записать и так:

(6.5)

где p^*_i = — частость. Для обозначения выборочного среднего иcпользуют следующие символы: , М*(Х), m*_х.

Отметим, что в случае интервального статистического ряда в равенстве (6.4) в качестве x_i берут середины его интервалов, a n_i — соответствующие им частоты.

Выборочной дисперсией D_B называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочной средней т.е.

(6.6)

или, что то же самое,

(6.7)

Можно показать, что D_B может быть подсчитана также по формуле

, то есть (6.8)

здесь .

Выборочное среднее квадратическое отклонение выборки определяется формулой

(6.9)

Особенность выборочного с. к. о. (_в) состоит в том, что оно измеряется в тех же единицах, что и изучаемый признак.

При решении практических задач используется и величина

(6.10)

(6.11)

которая называется исправленной выборочной дисперсией (см. далее п. 7.1).

Величина

(6.12)

называется исправленным выборочным средним квадратическим отклонением.

Для непрерывно распределенного признака формулы для выбо­рочных средних будут такими же, но за значения х₁, х₂,…, х_k надо брать не концы промежутков [х₀, х₁), [х₁, х₂), …, а их середины

В качестве описательных характеристик вариационного ряда, x(₁)

x(₂), … , x(_n) (или полученного из него статистического распределения выборки (6.3)) используется медиана, мода, размах вариации (выбор­ки) и т.д.

Размахом вариации называется число R = x(_n) — x(₁), где x(₁) = , x(_n)= или R = x_max—x_min, где x_mах — наибольший, x_min — наименьший вариант ряда.

Модой М₀* вариационного ряда называется вариант, имеющий наи­большую частоту.

Медианой М_e* вариационного ряда называется значение признака (св. X), приходящееся на середину ряда.

Если п = 2k (т. е. ряд x(₁), x(₂),…, x(_k), x(_k+1),..., x(_2k), имеет четное число членов), то М_e* = ; если п = 2к + 1, то М_e* = x(_k+1)

Пример 6.7. По условию примера 6.2 из п. 6.3 найти характеристики выборки — результаты тестирования 10 абитуриентов.

Используя формулы (6.4)-(6.12) и определения из п. 6.5, находим: (0 • 1 + 1 • 2 + ... + 5 • 3) = 3,

D_B = ((0 - 3)² • 1 + (1 - 3)² • 2 + ... + (5 - 3)² • 3) = 3.2,

_B = 1.79,

S² = • 3,2≈3.56.

S = 1,87, R = 5 -0 = 5, М₀* = 5,

М_e*= =3.5.

47