Мода и медиана. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс. Квантили

Модой д. с. в. X называется ее значение, принимаемое с наибольшей вероятностью по сравнению с двумя соседними значениями, обознача­ется через M₀X. Для н.с.b. M₀X — точка максимума (локального) плотности f_x(x).

Если мода единственна, то распределение с. в. называется унимо­дальным, в противном случае — полимодальным (рис. 23).

Рис. 23

Медианой М_еХ н.с.в. X называется такое ее значение х_р, для ко­торого

Р{Х < х_р} = Р{Х > х_р} = , (2.19)

т. е. одинаково вероятно, окажется ли с. в. X меньше х_р или больше х_р (рис. 23).

С помощью функции распределения F(x) равенство (2.19) можно записать в виде F(M_eX) = 1 - F(M_eX). Отсюда F(M_eX) = .

Для д. с. в. медиана обычно не определяется.

Математическое ожидание и дисперсия являются частными случа­ями следующих более общих понятий — моментов с. в.

Начальным моментом порядка к св. X называется м.о. k-й сте­пени этой величины, обозначается через α_к.

Таким образом, по определению

α_к = М(Х^к).

Для д. с. в. начальный момент выражается суммой:

α_к =

а для н. с. в. — интегралом:

α_к =

В частности, α₁=MX, т.е. начальный момент 1-го порядка есть м.о. Центральным моментом порядка k с. в. X называется м.о. величины (X — МХ)^k, обозначается через μ_k.

Таким образом, по определению

μ_к = М(Х - МХ)^k.

В частности, μ₂=DX, т.е. центральный момент 2-го порядка есть дисперсия; μ₁ = М(Х — MX) =0 (см. свойство 4 м.о.).

Для д. с. в.:

μ_к =

а для н. с. в.:

μ_к=

Центральные моменты могут быть выражены через начальные моменты. Так. Μ₂ = DX = α₂— α₁² (действительно: μ₂ = DX = MX² — (MX)² = α₂ — α₁²); μ₃= α₃ — 3 α₁ α₂ + 2 α₁³, μ₄ = α₄ - 4 α₁ α₃ + 6 α₁² α₂ — 3 α₁⁴ и т. д.

Среди моментов высших порядков особое значение имеют цен­тральные моменты 3-го и 4-го порядков, называемых соответственно коэффициентами асимметрии и эксцесса.

Коэффициентом асимметрии («скошенности») A с.в. X называ­ется величина

А=

Если А > 0, то кривая распределения более полога справа от M₀X (рис. 24).

Если А < 0, то кривая распределения более полога слева от M₀X (рис. 25).

Коэффициентом эксцесса («островершинности») Е с. в. X назы­вается величина

E=

Величина Е характеризует островершинность или плосковершинность распределения. Для нормального закона распределения (см. п. 2.7) А = 0 и Е = 0; остальные распределения сравниваются с нор­мальным: если Е > 0 — более островершинные, а распределения «плос­ковершинные» имеют Е < 0 (рис. 26).

Кроме рассмотренных выше числовых характеристик св., в при­ложениях используются так называемые квантили.

Квантилъю уровня р с. в. X называется решение уравнения

F_X(x_P) =p,

где р — некоторое число, 0 < р < 1.

Квантили x_0,25, x_0,5 и x_0,75 имеют свои названия: нижняя кван­тиль, медиана (М_еХ = x_0,5), верхняя квантиль соответственно. Они делят числовую прямую на 4 части, вероятности попадания в которые равны 0, 25 (рис. 27).