1.16. Вероятность суммы событий

Как известно (п. 1.11), вероятность суммы двух несовместных событии определяется аксиомой A3: ({А + В) = Р(А) + Р(В), АВ =  Выведем формулу суммы вероятностей двух совместных событий.

Теорема 1.1. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их произведения,

Р(А + В) = Р(А) + Р(В)-Р(АВ). (1.28)

Представим события А + В и В в виде суммы двух несовместных событий: А+В = А+В , В = АВ + В (см. п. 1.3, пример 1.2 и упражнение 1). В справедливости этих формул можно наглядно убедиться на рис. 11.

Рис. 11

Тогда, согласно аксиоме A3, имеем Р(А + В) = Р(А) + Р(В ) и Р(В) = Р(АВ) + Р(В ). Отсюда следует Р(А + В) = Р(А) + Р(В) –Р(АВ). Формула (1.28) справедлива для любых событий А и В. Можно получить формулу вероятности суммы трех и большего числа совместных событий; для трех событий она имеет вид

Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С)-

- Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) + Р(АВ С). (1.29)

Справедливость равенства поясняет рис. 12.

Проще, однако, найти вероятность суммы нескольких совместных событий P(S) = P(А₁+ А₂ +… +А_п ), используя равенство P(S)+P( )= 1, где = — противоположно событию S. Тог,: P(S)=1 — P( ). Мы уже использовали этот прием в п. 1.12.

Пример 1.28. Бросаются две игральные кости. Какова вероятноcть появления хотя бы одной шестерки?

Введем события: А — появление шестерки на первой кости, В на второй кости. Тогда А + В — появление хотя бы одной шестерки бросании костей. События A и В совместные. По формуле (1.28) находим Р(А+В) = . (Иначе: Р( )=Р( )= Следовательно. P(S) =1- .)

1.17. Формула полной вероятности

Одним из следствий совместного применения теорем сложения умножения вероятностей являются формулы полной вероятности и Байеса. Напомним, что события А₁, А₂, … ,А_n образуют полную группу, если A_iA_j =, i ≠ j и . Систему таких событий называют также разбиением.

Теорема 1.2. Пусть события H₁, H₂, ..., Н_n образуют полную группу. Тогда для любого события А имеет место формула полной вероятности или средней вероятности.

P(A) = (1.30)

Так как H₁+ H₂+ ...+ Н_n =Ώ, то в силу свойств операций над событиями (п. 1.3), А = А Ώ, = А  (H₁ + H₂ + ... + Н_n) = А  H₁+ А  Н₂ + … + А  Н_n. Из того, что H_iH_j =, следует, что (А  H_i)  (А H_j) = , i ≠ j, т.е. события А  H_i и А H_j также несовместны. Тогда по теореме сложения вероятностей Р(А)= Р(А • H₁) + Р(АН₂) + ... + Р(А • Н_n) т.е. Р(А) = По теореме умножения вероятностей Р(А  H_i) = P(H_i)  Р(А| H_i), откуда следует формула (1.30).

Отметим, что в формуле (1.30) события H₁, H₂, ..., Н_n обычно и называют гипотезами; они исчерпывают все возможные предположен, (гипотезы) относительно исходов как бы первого этапа опыта, событие — один из возможных исходов второго этапа.

Пример 1.29. В сборочный цех завода поступает 40% деталей из I цеха и 60% — из II цеха. В I цехе производится 90% стандартных деталей, а во II — 95%. Найти вероятность того, что наудачу взятая сборщиком деталь окажется стандартной.

Взятие детали можно разбить на два этапа. Первый — это выбор цеха. Имеется две гипотезы: Н₁ — деталь изготовлена I цехом, H₂ -II цехом. Второй этап — взятие детали. Событие А — взятая наудачу деталь стандартна. Очевидно, события Н₁ и H₂ образуют полную груп­пу, P(Н₁) = 0,4, Р(H₂) = 0,6. Числа 0,90 и 0.95 являются условными вероятностями события А при условии гипотез H₁ и H₂ соответствен­но, т.е. Р(АН₁) = 0,90 и Р(АН₂) = 0,95. По формуле (1.30) находим:

Р(А) = = 0,4 • 0,90 + 0,6 • 0,95 = 0,93.