2.2. Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения

Пусть X — д. с. в., которая принимает значения x₁, x₂, x₃,…,x_n,… (множество этих значений конечно или счетно) с некоторой вероят­ностью p_i, где i = 1,2,3, ...,n,… . Закон распределения д. с. в. Удобно задавать с помощью формулы p_i = Р{Х = x_i }, i = 1,2,3,... ,n,..., определяющей вероятность того, что в результате опыта с. в. X примет значение x_i. Для д. с. в. X закон распределения может быть задан в виде таблицы, распределения:

X	x1	x2	….	xn	…
P	p1	p2	….	pn	…

где первая строка содержит все возможные значения (обычно в порядке возрастания) св., а вторая — их вероятности. Такую таблицу называ­ют рядом распределения.

Так как события {X = x₁}, {X = x₂} … несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице (см. п. 1.12), т.е. . Закон распределения д. с. в. можно задать графически, если на оси абсцисс отложить возможные значения с. в., а на оси ординат — вероят­ности этих значений. Ломаную, соединяющую последовательно точки ( x₁, p₁), (x₂, p₂) называют многоугольником (или полигоном) рас­пределения (см. рис. 17).

Рис. 17

Теперь можно дать более точное определение д. с. в.

Случайная величина X дискретна, если существует конечное или счетное множество чисел x₁, x₂, ... таких, что Р{Х = x_i} = p_i > 0 (i = 1,2,...) p₁ + p₂+ p₃ +…=1.

Определим математические операции над дискретными с. в.

Суммой (разностью, произведением) д. с. в. X, принимающей зна­чения x_i с вероятностями p_i = Р{Х = x_i }, i = 1,2,3,... ,n, и д. с. в. Y, при­нимающей значения y_j с вероятностями p_i = Р{Y = y_j }, j = 1,2,3,... ,m, называется д. с. в. Z = X + Y (Z = X — Y, Z = X  Y), принимающая значения z_ij = x_i + y_j (z_ij= x_i – y_j, z_ij = x_i  y_j ) с вероятностями p_ij = Р{ Х = x_i ,Y = y_j }, для всех указанных значений i и j. В случае совпадения некоторых сумм x_i + y_j (разностей x_i – y_j, произведений x_i  y_j) соответствующие вероятности складываются.

Произведение д. с. в. на число с называется д. с. в. сХ, принимающая значения с x_i , с вероятностями р_i = Р{Х = x_i }.

Две д. с. в. X и Y называются независимыми, если события {X = x_i } = А_i и {Y = y_j } = В_j независимы для любых I= 1,2,... ,n; j = l,2,...,m, т.е.

P{X = x_i ;Y = y_j } =P{X = x_i } P {Y = y_j }

В противном случае с. в. называются зависимыми. Несколько с. в. на­зываются взаимно независимыми, если закон распределения любой из них не зависит от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Пример 2.1. В урне 8 шаров, из которых 5 белых, остальные — чер­ные. Из нее вынимают наудачу 3 шара. Найти закон распределения числа белых шаров в выборке.

Возможные значения с. в. X — числа белых шаров в выборке есть x₁= 0, x₂ = 1, x₃ = 2, x₄= 3. Вероятности их соответственно будут р₁ = Р{Х = 0} = , р₂ = Р{Х = 1} = , р₃ = Р{Х = 2} = , р₄ = Р{Х = 3} = , Закон распределения запишем в виде таблицы.

X	0	1	2	3
Р

(Контроль: =1)