1.11. Аксиоматическое определение вероятности

Аксиоматическое построение теории вероятностей создано в начале 30-х годов академиком А. Н. Колмогоровым. Аксиомы теории вероят­ностей вводятся таким образом, чтобы вероятность события обладала основными свойствами статистической вероятности, характеризующей ее практический смысл. В этом случае теория хорошо согласуется с практикой.

Пусть Ώ — множество всех возможных исходов некоторого опы­та (эксперимента), S — алгебра событий. Напомним (см. п. 1.4), что совокупность S подмножеств множества Ώ называется алгеброй (σ-алгеброй), если выполнены следующие условия:

1. S содержит невозможное и достоверное события.

2.Если события А₁, A₂, А₃, ... (конечное или счетное множество) принадлежат S, то S принадлежит сумма, произведение и дополнение (т. е. противоположное для А_i) этих событий.

Вероятностью называется функция P(А), определенная на алгеб­ре событий S, принимающая действительные значения и удовлетворя­ющая следующим аксиомам:

А1. Аксиома неотрицательности: вероятность любого события А  S неотрицательна, т. е.

Р(А) ≥ 0.

А2. Аксиома нормированности: вероятность достоверного события равна единице, т. е.

Р(Ώ) = 1.

A3. Аксиома аддитивности: вероятность суммы несовместных собы­тий равна сумме вероятностей этих событий, т. е. если А _i A _j = 0

(i≠j), то

Совокупность объектов (Ώ, S, Р), где Ώ — пространство элементар­ных событий, S — алгебра событий, Р — числовая функция, удовлетво­ряющая аксиомам Al-А3, называется вероятностным пространством случайного эксперимента.

Вероятностное пространство служит математической моделью лю­бого случайного явления; заданием этого пространства завершается ак­сиоматика теории вероятностей.

1.12. Свойства вероятностей

Приведем ряд свойств вероятности, являющихся следствием акси­ом Колмогорова.

С1. Вероятность невозможного события равна нулю, т.е.

Р() =0.

Так как А +  = А и А= , то согласно аксиоме A3 имеем Р(А) + Р() = Р(А), следовательно, Р() = 0.

С2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е.

Р(А)+Р( ) = 1.

Поскольку А+ = Ώ, то Р(А+ ) = Р(Ώ), а так как А .= , то в силу аксиом А2 и A3 получаем Р(А) + Р( )= 1.

СЗ. Вероятность любого события не превосходит единицы, т. е.

Р(А) 1.

Из свойства С2 вытекает, что Р(А) = 1 - Р( ). С учетом ак­сиомы А1 получаем Р(А) 1.

С4. Если А В, т. е. событие А влечет за о собой событие В, то

Р(А)  Р(B)

Так как В = (В - А) + А при А С В и (В - А) • А = , то согласно аксиоме A3 получаем Р(В) = Р(В-А)+Р(А). Но Р(В-А) ≥ 0 (аксиома А1), поэтому Р(В)≥ Р(А).

С5. Если события А₁, А₂, .., А_п образуют полную группу несовместных событий, т. е. и А_i • A_j = , то

Так как А₁ + А₂ +... + А_п = Ώ, то, согласно аксиомам А2 и A3, имеем P(A₁ + А₂ + ... + А_n) = Р(А₁ )+ Р(А₂) + ... + Р(А_n) = 1. ■

Заметим, что из Р(А) = 0 не следует А = .

Пример 1.24. Из колоды, содержащей 36 карт, наудачу вынимают тpи карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна «дама».

Пусть А — интересующее нас событие, А₁ — появление одной «дамы», А₂— двух «дам», А₃ — трех «дам». Тогда А = А₁ + А₂ + А₃ , причем события А₁ , А₂ , А₃ несовместные. Поэтому Р(А) = Р(А₁ )+ Р(А₂ )+Р( А₃). Число всевозможных случаев выбора трех карт из 36 равно ; число случаев, благоприятных событиям А₁ , А₂ , А_3, соответственно равно , , Таким образом,

Р(А) = = 0.31.

Задача решается проще, если воспользоваться свойством С2. Находим Р( ), где — среди вынутых карт нет ни одной «дамы»! Р( )=

Значит, Р(А) = 1 - 0,69 = 0,31.