13.2. Переходные процессы в неразветвленных цепях первого порядка

Переходные процессы в цепях первого порядка описываются линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами, имеющими в общем случае вид

Принужденную составляющую общего решения этого уравнения (13.3), являющуюся током или напряжением в устано­вившемся режиме, определяют непосредственно из схемы цепи при а свободную составляющую ищут в виде

где р₁ — корень характеристического уравнения ;

A₁— постоянная интегрирования, определяемая начальными условиями в цепи.

Вначале рассмотрим свободные напряжения и токи, а затем переходные процессы при подключении к цепи источников посто­янного и синусоидального тока или напряжения.

13.2.1. Свободные напряжения и токи в неразветвленных цепях первого порядка

Методику анализа свободных напряжений и токов в неразветв­ленных цепях первого порядка рассмотрим на примере цепи, по­казанной на рис. 13.2. При размыкании ключа К в изолированном

от внешних источников электрической энергии контуре rL (рис. 13.3) за счет энергии, запасенной в магнитном поле эле­мента L, возникнут свободные напряжения и ток.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа для рассматри­ваемого контура можно записать

Решение этого однородного дифференциального уравнения имеет вид

. (13.10)

Из характеристического уравнения

найдем

где τ_ц=1/г — величина, имеющая размерность времени, называе­мая постоянной времени цепи. Подставив p₁ в формулу (13.10), получим

(13.11)

Постоянную интегрирования ai найдем из начальных условий, воспользовавшись первым законом коммутации: . Подставив это в выражение (13.11), при t=0 получим

.

При этом окончательное решение уравнения (13.9) будет иметь вид

Из полученного выражения видно, что свободный ток в рас­сматриваемой цепи убывает с течением времени по экспоненци­альному закону. График этого тока приведен на рис. 1З.4,

При , ток в цепи .

П оэтому постоянную времени цепи т_ц можно определить как промежуток времени, по истечении которого экспоненциально убы­вающая величина уменьшается в раза. Она определяет длительность переходного процесса. Чем больше т_ц, тем больше длится переходный процесс (рис. 13.5).

Теоретически переходный процесс в рас­сматриваемой цепи длится бесконечно долго. Однако его можно считать практически закон­ченным по истечении времени , когда , т. е. когда значения тока будут составлять 5 0,7% его начального значения.

Свободные напряжения на активном сопротивлении u··. и на индуктивности u_l· в рассматриваемой цепи изменяются по закону, аналогичному закону ищминения тока i:

Графики этих напряжений приведены на рис. 13.6.

Следует отметить, что эти напряжения в момент времени t=0+ изменяются скачком от нулевых значений до величины, равной rI₀. Эта величина при больших значениях r и I₀ может быть очень большой, что может явиться причиной неисправностей электрических цепей, содержащих индуктивности, при их отключении от источников электрической энергии.