14.4. Расчет реакции цепи на воздействие произвольной формы с использованием временных характеристик
В основе расчета реакции линейной цепи на воздействие произвольной формы с использованием ее временных характеристик лежит принцип наложения. Суть такого метода расчета заклю-
чается в представлении входного воздействия суммой (наложением) простых типовых импульсных функций.
Представим входной сигнал произвольной формы наложением прямоугольных импульсов малой длительности tи=Δτ=Δt (рис. 14.10).
где
При
малой длительности Δτ реакция цепи на
каждый импульс
в соответствии с формулой (14.18) определяется
с помощью ее импульсной характеристики
как произведение:
Реакцию
цепи на воздействие
в соответствии с принципом наложения
найдем как сумму реакций
:
Устремляя Δτ>0, в пределе получаем t
или после замены переменных
Здесь
интегрирование производится по τ,
а
под
t
понимают фиксированный момент времени,
в который требуется найти значение
.
Полученные выражения называются интегралами свертки. Они позволяют найти реакцию линейной цепи на произвольное воздействие как свертку входного воздействия с импульсной характеристики цепи. Подобные выражения можно получить и при аппроксимации функции воздействия с помощью ступенчатых функций (см. рис. 14.5,6).
Интегралу свертки можно дать графическую интерпретацию. Для этого последовательность свертывания двух функций проиллюстрируем с помощью рис. 14.11. Свертываемые функции (рис. 14.11,а) после замены переменной t на τ (рис. 14.11,6) преобразуем путем замены т на (—τ). Такое преобразование (рис. 14.11,0) соответствует зеркальному отражению функций относительно оси ординат. Последующая замена (—τ) на (t—τ) соответствует смещению отраженных функций вправо на величину t (рис. 14.11,г). Произведение двух функций, находящееся под знаком интеграла в свертке (14.25) и (14.26), представлено на рис. 14.11, д. Интегрирование перемноженных функций дает значение интеграла свертки в данный момент времени (рис. 14.11, е). Ордината результирующей кривой (см. рис. 14.11, е) соответствует площади заштрихованной поверхности (см. рис. 14.11,д). Для нахождения каждой новой ординаты требуется новое отражение и смещение, после чего выполняется перемножение ординат и интегрирование.
Таким образом, свертывание двух функций может быть представлено с помощью четырех действий — отражения, смещения, перемножения и интегрирования, выполняемых в определенной последовательности.
Если подставить в интегралы (14.25) и (14.26) выражение (14.19) и использовать замену переменных, то получим еще
две формы интеграла свертки, которые в теории цепей обычно называют интегралами Дюамеля:
так как
Интегрируя
в (14.25) и (14.26) по частям
,
получаем еще две формы (третью и четвертую)
интеграла Дюамеля:
так как
Дифференцируя определенный интеграл (14.25) и (14.26) по верхнему пределу
получаем пятую и шестую формы интеграла Дюамеля:
Выбор удобной формы записи интеграла свертки (Дюамеля) определяется условием решаемой задачи, видом входного воздействия и используемой временной характеристики цепи.
Расчет реакции цепи на воздействие произвольной формы распадается в общем случае на два этапа:
расчет временной характеристики нужного вида;
расчет реакции цепи с помощью интеграла свертки (Дюамеля) в любой удобной его форме (14.25) — (14.32).
Пример 14.4.
На
вход rC-цепи
(см.
рис. 14.9, α) подается
импульс напряжения экспоненциальной
формы
.
Определить
напряжение на
емкости.
Решение. 1. Для расчета используем импульсную характеристику
найденную для этой цепи в примере 14.3.
2. С помощью интеграла свертки (14.25) находим напряжение на емкости
Р
ассмотрим
особенности применения интеграла
Дюамеля при сложной форме входного
сигнала. Пусть fBX(t)
изменяется, например, в соответствии
с рис. 14.12. Функция fBX(t)
в точках t=0,
t1
и t2
изменяется скачком, а на интервалах
времени 0—t1
и
t1—t2
изменяется плавно, но по разным
законам: fBX1(t)
и fBX2(t)
соответственно. Реакцию цепи на такое
воздействие, задаваемое на разных
интервалах разными функциями и
характеризующееся наличием скачков,
удобно рассчитать с помощью интеграла
Дюамеля (14.29)
и (14.30).
В
первом интервале времени:
Во
втором интервале времени
Здесь
слагаемое
обусловлено
скачком вход-юй функции от
до
Fa
в
момент времени t1.
В
третий интервал времени
Здесь слагаемое (0-Fc)h(t—t2) обусловлено скачком функции fBX(t) от Fc до 0 в момент времени t2.