13.2.2. Переходные процессы в неразветвленных цепях первого порядка с источником постоянного напряжения

П ереходные процессы в цепях первого порядка с источником постоянного напряжения могут возникнуть как при подключении источника к цепи, так и при скачкообразном изменении ее схемы или параметров ее элементов. При этом мо­гут иметь место как нулевые, так и ненулевые начальные условия.

Методику анализа переходных процессов, возникающих в неразветвленной цепи пер­вого порядка при подключении к ней источ­ника постоянного напряжения при нулевых начальных условиях, рассмотрим на примере цепи rL (рис. 13.7). На основании второго закона Кирхгофа для этой цепи после коммутации можно запи­сать или

Общее решение этого неоднородного уравнения ищут в виде .

Учитывая; что принужденная составляющая тока в рассматри­ваемой цепи , а свободная составляющая определяется выражением (13.11), получим

где —постоянная времени цепи.

Постоянную интегрирования A, найдем из начальных условий i(0) =0. Подставив это в формулу (13.16), при t=0 получим 0=A₁+E/r, откуда A₁=—Е/r. При этом окончательное решение уравнения (13.15) будет иметь вид

Напряжение на сопротивлении г изменяется по аналогичному закону

а напряжение на индуктивности L — по закону

Кривые изменения i, , , и показаны на рис. 13.8. Из этого рисунка видно, что ток i и напряжение в рассматривае­мой цепи возрастают по экспоненциальному закону от нулевых значений при t=0 до =E/r и =Е при t= . Напряжение ,

обусловленное э. д. с. самоиндукции, в момент коммутации скач­ком возрастает от нулевого значения до величины, равной Е, а за­тем уменьшается по экспоненциальному закону до нуля при t= .

С корость изменения рассматривае­мых токов и напряжений, а следовательно, и длительность переходных процессов зависят от постоянной вре­мени цепи , которую в рассматривав мой цепи можно определить как пpoмежуток времени, по истечении кото­рого ток в цепи возрастает до (1—е^-1) 0,632 своего установивше­гося значения.

Методику анализа переходных про цессов, возникающих в неразветвлен-ной цепи первого порядка при нали­чии в ней источников постоянного напряжения при скачкообразном из­менении схемы цепи, рассмотрим на примере цепи, приведенной на рис. 13.9. После коммутации весь ток в рассматриваемой цепи будет проходить через короткозамкнутую перемычку, минуя

сопротивление r₂. При этом в соответствии со вторым законом Кирхгофа для рассматриваемой цепи можно записать или

Учитывая, что принужденная составляющая тока в цепи , общее решение уравнения (13.20) можно записать в виде

где — постоянная времени цепи.

Так как начальное значение тока в цепи i(0) =E/(r₁+r₂), то из выражения (13.21) при t=0 получим E/(r₁+r₂)=E/r₁+A₁

откуда . Подставив это в формулу (13.21), по­лучим

Напряжения и будут изменяться по законам:

Графики тока и напряжений в рассматриваемой цепи пока­заны на рис. 13.10,

13.2.3. Переходные процессы в неразветвленных цепях первого порядка с источниками синусоидального напряжения

О собенности методики анализа переходных процессов в нераз­ветвленных цепях первого порядка с источниками синусоидаль­ного напряжения рассмотрим на примере цепи rC при подключе­нии ее к источнику синусоидального напряже­ния (рис. 13.11).

В соответствии со вторым законом Кирх­гофа для рассматриваемой цепи можно запи­сать . Учитывая, что , получим

Свободная составляющая напряжения на емкости, являю­щаяся решением уравнения (13.25) без правой части, имеет вид

где p₁ = —1/rС — корень характеристического уравнения цепи

rСр+1 = 0.

Обозначив , получим

Принужденная составляющая напряжения на емкости будет синусоидальной функцией времени:

При этом общее решение уравнения (13.25) будет иметь вид

Постоянную интегрирования A₁ найдем из начальных условий (0)=0. Подставив это в выражение (13.29), при t=0 получим , откуда .

П ри этом получим

. (13.30)

Из этого выражения видно, что переходные процессы в рассматривае­мой цепи зависят от начальной фазы синусоидального напряжения ψ.

При ψ=φ±π/2 в цепи сразу наступает установившийся режим без переходного процесса.

При ψ=φ свободное напряжение на емкости будет максималь­ным (рис. 13.12), а следовательно, и переходный процесс в цепи будет более продолжительным.