21.3.1. Аппроксимация степенным полиномом

Вольт-амперную характеристику или ее рабочую часть пред­ставляют конечным числом слагаемых ряда Тейлора:

где u₀—напряжение в рабочей точке вольт-амперной характери­стики (рис. 21.4).

Число слагаемых определяется требуемой точностью расчета. Для определения коэффициентов аппроксимации α_k необходимо рабочую часть вольт-амперной характеристики разбить на k про-

межутков и определить из графика k+1 значения тока и напря­жения. Подставив эти значения тока и напряжения в ряд (21,1), получим k+1 уравнения:

Решая эту систему уравнений относительно коэффициентов ап­проксимации а_н, находят эти коэффициенты, а затем подставляют их в ряд (21.1).

Обычно степенным полиномом аппроксимируют такие кривые, для которых полином может быть ограничен степенью не выше пятой.

При расчете электрических цепей с электронными лампами и транзисторами, работающими на линейных участках их вольт-амперных характеристик (рис. 21.5), эти характеристики обычно заменяют прямыми линиями, т. е. аппроксимируют полиномом первой степени:

, (21.3)

где u_g — напряжение на управляющей сетке;

u_g0 — рабочая точка на вольт-амперной характеристике.

При u_g0=0 из выражения (21.3) получим

(21.4)

Приняв , получим .

Взяв производную от уравнения (21.4) по u_g, получим

где S — крутизна вольт-амперной характеристики.

Подставив а₀ и а₁ в формулу (21.4), по­лучим выражение для вольт-амперной ха­рактеристики

i = i₀ + Su_g. (21.5)

Если , то будем иметь

i = i₀ + S(u_g-u_g0). (21.6)

21.3.2. Кусочно-линейная аппроксимация

Эта аппроксимация состоит в том, что график действительной зависимости заменяется ломаной линией. В простейшем случае ломаная линия может состоять из двух прямых (рис. 21.6), урав­нения которых имеют вид:

i = 0 при u U₀;

i = S(u — U₀) при u>U₀,

где S — крутизна наклонной прямой.

Аппроксимация ломаной линией особенно удобна для представ­ления вольт-амперных характеристик выпрямителей, детекторов, ограничителей и других устройств.

21.4. Понятие о методах расчета нелинейных электрических цепей

Расчет нелинейных электрических цепей является обычно бо­лее трудоемким и громоздким, чем расчет линейных цепей. Это объясняется тем, что вольт-амперные характеристики нелинейных элементов являются кривыми линиями, аналитическое выражение которых заранее неизвестно, и неприменимостью к нелинейным це­пям принципа наложения.

При расчете нелинейных цепей применяют графические, анали­тические и численные методы.

Графические методы расчета, обладающие большой наглядно­стью и дающие вполне удовлетворительную точность решения, являются, как правило, очень громоздкими и не всегда позволяют сделать общие выводы.

Аналитические методы расчета основаны на приближенном аналитическом описании характеристик нелинейных элементов.

Эти методы обычно менее наглядны, но с их помощью удаетсй по­лучить общие расчетные зависимости.

Численные методы основаны на приближенных способах реше­ния нелинейных алгебраических и дифференциальных уравнений. Эти методы позволяют с помощью вычислительных машин решить любую задачу по расчету нелинейных цепей с высокой точностью.

Кроме того, в практике расчета нелинейных цепей широко ис­пользуются комбинированные методы, например графоаналитиче­ские.

При расчете конкретных нелинейных цепей следует иметь в виду, что характеристики нелинейных элементов имеют большой разброс (10—20%). Поэтому простота и наглядность решения часто имеют гораздо большее значение, чем точность аппрокси­мации и исходных данных задачи.

При расчете нелинейных электрических цепей постоянного тока наиболее часто используют графические и аналитические методы. Рассмотрим это на примерах.

Пример 21.1.

Найти напряжение на нелинейном сопротивлении я ток в цепи постоянного тока (рис. 21.7), если Е=2 В, r₁=0,5 Ом, а вольт-амперная характеристика не­линейного элемента задана в виде графика (рис. 21.8, кривая 1).

Решение.

Применим графический метод. На основании второго закона Кирхгофа, справедливого как для линейных, так и для нелинейных цепей, для рассматри­ваемой цепи можно записать

Е = Ir_l + u_h,

откуда

1=(E-U_H)/r₁. (21.7)

С другой стороны, ток в нелинейном элементе в зависимости от напряже­ния на его зажимах определяется вольт-амперной характеристикой нелинейного элемента:

I = ƒ(U_H). (21.8)

Решим систему из двух нелинейных уравнений (21.7) и (21.8) с двумя неизвестными I и U_H графическим методом. Для этого на рис. 21.8, на котором изображена зависимость I=f(U_H) (кривая 1), построим зависимость (21.7), ко­торая является уравнением прямой. Для построения этой прямой достаточно

найти две точки. Одну из точек найдем, приняв U_H = 0. При этом из формулы (21.7) получим

I= Е/r₁ = 2/0,5 = 4А.

Вторую точку найдем, приняв U_H=E. При этом из (21.7) получим I=0.

Проведя через эти точки прямую линию, найдем искомые I и U_H как коор­динаты точки пересечения этой линии с характеристикой нелинейного элемента:

I= 1,5 A; U_H = 1,22 B.

Пример 21.2.

Решить предыдущую задачу аналитическим методом, учитывая, что вольт-амперная характеристика нелинейного элемента аппроксимируется выражением

, (21.9)

где α=1.

Решение.

Подставив выражение (21.9) в уравнение (21.7), получим

откуда

Подставив это значение в формулу (21.9), найдем ток в цепи

Порядок расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока с двумя и более нелинейными элементами приведен, напри­мер, в [20].

При расчете нелинейных электрических цепей с источниками гармонического тока наиболее часто используют аналитические методы.

Если нелинейность вольт-амперной характеристики нелинейного элемента на ее рабочем участке является несущественной, то ра­бочий участок характеристики заменяют' прямой линией (см. рис. 21.5). Такую замену называют линеаризацией. В этом случае нелинейная цепь заменяется эквивалентной линейной цепью, для расчета которой могут быть использованы все методы расчета ли­нейных электрических цепей. Токи и напряжения на отдельных элементах в такой цепи практически можно считать синусоидаль­ными.

Если рабочий участок вольт-амперной характеристики нели­нейного элемента является существенно нелинейным, то его ап­проксимируют степенным полиномом или ломаной линией. В этом случае отклик (реакция) цепи на синусоидальное воздействие будет несинусоидальным. Расчет таких цепей значительно усложняется [5, 18, 19, 20].