20.8.2. Реализация лестничных реактивных четырехполюсников, нагруженных резисторами с одной из сторон

Так как свойства Z- и Y-параметров четырехполюсников оди­наковы, то выражения для их передаточных функций (20.38), (20.39) не только одинаковы по форме, но и имеют одинаковые свойства.

Из свойств Z- и У-параметров реактивных четырехполюсников следует, что знаменатели передаточных функций таких четырех­полюсников являются полиномами Гурвица, а числители — чет­ными или нечетными полиномами [47]. Поэтому каждую из пере­даточных функций можно представить в виде

где N₁₂(p) — четный или нечетный полином;

т(р) и n(ρ)— четная и нечетная части полинома Гурвица.

При нечетном N₁₂(p) выражение (20.40) можно представить в виде

а при четном N₁₂(p)— в виде

Из сравнения выражений (20.41) и (20.42) с уравнением (20.39) следует, что при нечетном N₁₂(p)

а при четном N₁₂(p)

При этом задача реализации четырехполюсника по заданной функции K(р) сводится к реализации четырехполюсника без по­терь по заданным двум Y-параметрам. Функция Y₂₂ создается та­ким образом, чтобы реализовать желаемые нули Y₂₁. Полюсы Y₂₁ при этом реализуются автоматически, так как они совпадают с по­люсами Y_22. Поэтому порядок реализации зависит от расположе­ния нулей N₁₂(p).

Если заданной является функция (20.38), то для Z₂₁ и Z₁₁ по­лучим выражения, аналогичные формулам (20.43) и (20.44).

Наиболее просто реализуются по заданным передаточным функциям лестничные реактивные четырехполюсники, нули пере­даточных функций которых находятся только при р= .

Пример 20.6.

Произвести синтез реактивного четырехполюсника без потерь, если при. активной нагрузке с нормированным значением, равным единице, его переда­точная функция по напряжению имеет вид

К(р) = 1/(р³+2р² + 2р+1).

Решение.

Числитель К(р) является четной функцией, поэтому, воспользовавшись вы­ражением (20.44), получим

Функцию Y₂₂ необходимо реализовать таким образом, чтобы она создавала нуль Y₂₁ третьей кратности при p= . Для этого схема четырехполюсника должна иметь три ветви, создающие нули передаточной функции при p= . Такими ветвями в лестничном четырехполюснике являются последовательные ветви, имеющие nojpocbi сопротивлений при p= , либо параллельные ветви, имеющие нули сопротивления при р= . В первом случае эти ветви должны со­держать только индуктивности, а во втором — только емкости.

Такие ветви можно получить путем разложения Y₂₂ в цепную дробь

Это разложение обеспечивает нуль третьей кратности функции К(р) при р= , По произведенному разложению можно построить реактивный четырех­полюсник, схема которого приведена на рис. 20.23.

Методика реализации реактивных четырехполюсников, нули передаточных функций которых находятся не только при jω= , но и в других точках оси jω, рассмотрена, например, в [47].

20.9. Реализация лестничных реактивных четырехполюсников, нагруженных резисторами с двух сторон

Большой практический интерес представляет синтез реактив­ного четырехполюсника, нагруженного с обеих сторон в случае, когда сопротивление нагрузки и внутреннее сопротивление источ­ника э.д.с. e_bx (см. рис. 10.2) являются активными сопротивле­ниями: Z_H=r_H и Z_BH=r_BH.

При реализации такого четырехполюсника используют волно­вой коэффициент передачи S₂₁, выражение которого после замены jω в формуле (10.75) на р можно записать в операторной форме:

Необходимым и достаточным условием реализации этой пере­даточной функции [47] является то, чтобы она представляла собой рациональную дробь вида

S₂₁(p) = W(p)/V(p), (20.46)

где V(p)—полином Гурвица;

W (ρ)— четный или нечетный полином.

Для установления связи между волновым коэффициентом пере­дачи четырехполюсника S₂₁, который задается при синтезе реак­тивного четырехполюсника, нагруженного резисторами с двух сто­рон, с его передаточной функцией по напряжению К_U(р) =

— U₂(p)/U₁(p), no которой осуществляют его синтез, обратимся к равенству (10.81a), которое характерно для четырехполюсников без потерь и при jω = p имеет вид

где S₁₁(p) —коэффициент отражения на входе четырехполюсника, в соответствии с выражением (10.70) равный в рас­сматриваемом случае

После подстановки выражения (20.46) в уравнение (20.47), по­лучим

или

где |h(p)|²=|V(p)|²-|W (р)|²

Выражение (20.45) представим в виде

где К_U(p)=U₂ (p)/U₁(p).

Из формулы (20.50) выразим передаточную функцию четы­рехполюсника по напряжению

Учитывая, что здесь

получим

Подставив сюда выражения (20.46) и (20.49), получим оконча­тельно

Это выражение обычно и используют при синтезе реактивного четырехполюсника, нагруженного резисторами с двух сторон. Рассмотрим это на конкретном примере.

Пример 20.7.

Произвести синтез реактивного четырехполюсника, включенного между источником э. д. с., внутреннее сопротивление которого r_BH чисто активно и

равно 1 Ом, и нагрузкой с чисто активным сопротивлением r_H=l Ом, волновой коэффициент передачи которого имеет вид

Решение.

Воспользовавшись выражением |h(р)|² = |V(р)|² — |W(р) |², найдем

|h(p)|²=h(p)h(-p)=-p⁶+6p⁴-45p².

Отсюда можно найти

.

С помощью выражения (20.52) найдем

Так же, как и в примере 20.6, разделив числитель и знаменатель K_U(р) на нечетную часть полинома знаменателя, найдем параметры четырехполюсника:

Так как в данном случае параметр Y₂₁ имеет только нуль третьей кратности при p= , то, разлагая Y₂₂ в цепную дробь, получим

Этой дроби соответствует схема реактивного четырехполюсника, приведен­ная на рис. 20,24.