20.3. Реализация реактивных двухполюсников путем разложения их входных операторных функций на простые дроби

Указанные в предыдущем подразделе условия, которым дол­жны удовлетворять входные операторные функции реактивных двухполюсников, являются не только необходимыми, но и доста­точными. Для доказательства достаточности этих условий следует указать хотя бы один способ реализации этих функций.

Рассмотрим первый способ реализации реактансных функций, основанный на разложении этих функций на сумму простейших реактансных функций, каждая из которых выражает операторное сопротивление или операторную проводимость простейшего реак­тивного двухполюсника.

Пусть задана реактансная функция вида (20.8). Ее можно разложить на сумму простых дробей [47]:

где т — число пар сопряженных полюсов при p=±jω_k.

Можно показать, что коэффициенты , а₀ и а_k этого разложе­ния являются вещественными положительными числами [47]. Их

можно определить различными методами, например методом неоп­ределенных коэффициентов, или по формулам:

Слагаемое в разложении (20.9), являющееся целой частью дроби (20.8), соответствует полюсу реактансной функции при

p= . Его можно рассматривать как операторное сопротивление индуктивности. В схеме двухполюсника (рис. 20.2, г) ему соответ­ствует последовательно включенная индуктивность .

Слагаемое а₀/р, соответствующее полюсу функции при p=0, можно рассматривать как операторное сопротивление емкости. В схеме двухполюсника ему соответствует последовательно вклю­ченная емкость С₀=1/а₀.

Слагаемое 2а_kр/(p² + ) соответствует паре мнимых полю­сов функции при . Это слагаемое можно представить в виде,

откуда следует, что это слагаемое можно рассматривать как опе­раторное сопротивление параллельно соединенных емкости C_k=l/2a_k и индуктивности L_k= 2a_k/ .

Таким образом, выражение (20.9) можно рассматривать как операторное сопротивление двухполюсника Z_IV(p), состоящего из последовательно соединенных индуктивности , емкости С₀ и параллельных контуров с емкостями C_k и индуктивностями L_k (см. рис. 20.2,г).

Операторные входные сопротивления Z₁(p) (20.5), Z_n(p) (20.6) и Z_II(р) (20.7) представляют собой частные случаи рас­смотренного выше разложения для Z_IV (р). В разложении для Z₁(р) будет отсутствовать слагаемое а₀р, для Z_n (р) — слагаемое

, а для Z_III(p)—слагаемые и а₀/р. Этим разложениям соответствуют двухполюсники, схемы которых приведены на рис. 20.2,α, бив.

Заменив в формулах (20.5) — (20.8) р на jω, получим четыре вида комплексных входных сопротивлений реактивных двухполюс­ников, частотные характеристики которых приведены на рис. 20.3. Из этого рисунка видно, что Z (jω)/j растет с ростом ω. Кроме ну­лей и полюсов, находящихся на конечных значениях частоты ω, двухполюсник Z₁(jω) имеет нуль сопротивления при ω=0 и по­люс при ω= ; Z_II(jω) —нуль при ω= и полюс при ω=0; Z_III(jω)—нули при ω = 0 и ω= ; Z_IV(jω) — полюсы при ω=0 и ω= .

Пример 20.1.

Найти реактивный двухполюсник, сопротивление которого задано в виде реактацрной функции

Решение.

В том, что заданная функция действительно является реактансной, нетрудно убедиться, определив ее нули и полюсы. Все они находятся на мнимой оси, яв­ляются простыми и взаимно чередуются. Так как заданная функция имеет по-

люсы ρ= , р=0 и р= ±j, то разложение этой функции иа элементарные дроби имеет вид

Коэффициенты разложения:

Подставив эти коэффициенты в Z(p), получим

Схема двухполюсника приведена на рис. 20.4. Параметры нормированных элементов двухполюсиика:

Р ассмотренный выше способ реализации реактансных функций можно считать доказательством не только необходимости, но и до­статочности условий, которым должны удовлетворять операторные входные функ­ции реактивных двухполюсников, так как по этим условиям можно построить соответ­ствующую цепь.

Если разлагать на элементарные дроби операторные проводимости, являющиеся функциями, обратными функциям оператор­ных сопротивлений, то получим еще четыре схемы реактивных двухполюсников.

Пусть, например, операторная проводимость имеет вид

Учитывая, что это выражение совпадает с выражением (20.8) для Z_1V(p), можно написать разложение:

Первое слагаемое в этом выражении можно рассматривать как операторную проводимость емкости (рис. 20.5,б), а вто­рое слагаемое — как операторную проводимость индуктивности L₀=l/b₀.

Слагаемое представим в виде

откуда следует, что это слагаемое можно рассматривать как опера­торную проводимость последовательного контура, состоящего из индуктивности L_k=1/2b_k и емкости C_k= 2b_k/ .

Таким образом, выражение (20.12) можно рассматривать как операторную проводимость двухполюсника, состоящего из парал­лельно включенных емкости , индуктивности l₀, и последова­тельных контуров, состоящих из индуктивностей L_k и емкостей C_k (см. рис. 20.5,б). Па этом же рисунке приведены еще три разно­видности схем реактивных двухполюсников.

Пример 20.2.

Найти реактивный двухполюсник, проводимость которого задана в виде реактансной функции

Решение.

Используя результаты предыдущего примера, получим

где .

Подставив это в разложение для К(р), получим

Параметры элементов двухполюсника:

.

Схема двухполюсника приведена на рис. 20.6.

Из выражений (20.9) и (20.12) следует, что сумма любого числа реактансных функций является также реактансной функцией и что любую сложную реактансную функцию можно представить в виде суммы двух более простых реактансных функций.

В частности, реактансную функцию Z(p) с полюсом при р= можно представить суммой:

Z(p) = + Z₁(p), (20.13)

где α , a Z₁(p) — реактансная функция с нулем при р= .

Реактансную функцию Z(p) с полюсом при ρ = 0 можно пред­ставить в виде

Z(p) = a₀/p + Z₁(p), (20.14)

где а₀>0, a Z_l(p) — реактансная функция с нулем при p=0.

20.4. РЕАЛИЗАЦИЯ РЕАКТИВНЫХ ДВУХПОЛЮСНИКОВ

ПУТЕМ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

ИХ ВХОДНЫХ ОПЕРАТОРНЫХ ФУНКЦИЙ

В ВИДЕ ЦЕПНОЙ ДРОБИ

Представление реактансных функций Z(p) и Υ(ρ) в виде цеп­ной дроби осуществляется путем последовательного выделения полюсов этих функций при p= или при p= 0.

Пусть функция Z(p) имеет полюс при р= . Тогда, располо­жив полиномы числителя и знаменателя Z(p) по убывающим сте­пеням и деля числитель на знаменатель, получим

Z(p)=pL₁+ Z₁(P).

Здесь L₁>0, а функция Z₁(p) согласно формуле (20.13) яв­ляется также реактансной функцией, обращающейся в нуль при р= .

Слагаемое pL₁ реализуется в виде индуктивности L₁ (рис. 20.7,а). Так как функция Z₁(p) имеет нуль при р= , то функция Υ(p) = 1/Z(p) имеет здесь полюс. Выделяя этот полюс путем деления знаменателя Z₁(p) на его числитель, получим

Здесь С₂>0, а функция Y₂(р) является реактансной функ­цией, обращающейся в нуль при p= .

Слагаемое рС₂ реализуется в виде емкости С₂, включенной па­раллельно с проводимостью Y₂(р) (рис. 20.7,6),

Подставив Z₁(p) в выражение для Z(p), получим

Продолжая этот процесс последовательного выделения полю­сов Z(p) и Υ(р) при p= , получим цепную дробь вида

Ута дробь реализуется в виде схемы реактивного двухполюс­ника, приведенной на рис. 20.8, а.

Если функция Z(p) имеет нуль при p= , то, разлагая в цеп­ную дробь функцию Υ(p)=₁/Z(p) путем последовательного выделения полюсов при p= , получим схему двухполюсника, приведенную на рис. 20.8, б.

Если при выделении полюсов функций Z(p) и У(р) при р= полиномы числителей и знаменателей этих функций расположить по возрастающим степеням р, то получим еще две разновидности схем реактивных двухполюсников (рис. 20.8,6 и г),

Пример 20.3.

Наши реактивный двухполюсник, сопротивление Которого задано реактансной функцией

Решение.

Путем последовательного деления числителя Z(p) на знаменатель, знаме­нателя на первый остаток и т. д. представим заданную функцию в виде цепной дроби

Искомая цепная дробь будет иметь вид

Этой дроби соответствует двухполюсник, схема которого приведена на рис. 20.9, где .

При выделении из реактансных функций Z(p) и Y(р) полюсов при p=0 получим цепную дробь вида

и еще четыре разновидности схем реактансных двухполюсников (рис. 20.10).

Двухполюсники, схемы которых приведены на рис. 20.8—20.10, обычно называют двухполюсниками лестничного типа.

Все рассмотренные в настоящем и предыдущем подразделах двухполюсники характерны тем, что из всех возможных схем двух­полюсников, соответствующих заданным реактансньш функциям,

они содержат наименьшее число элементов, равное наивысшей сте­пени р заданных функций. Схемы этих двухполюсников обычно называют каноническими схемами.

Таким образом, любую заданную реактансную функцию можно реализовать в виде четырех канонических схем (см. рис. 20.2, 20.5, 20.8 и 20.10), которые являются эквивалентными. Если применять комбинированную методику реализации, то количество эквива­лентных схем может быть увеличено. Однако получающиеся при этом схемы уже не будут каноническими.

Если нули и полюсы реактансной функции заранее неизвестны, то проще находятся лестничные реактивные двухполюснцки, так как вычисление нулей и полюсов реактансных функций при боль­шом их порядке сопряжено с большим объемом вычислительной работы.