20.10. Реализация четырехполюсников типа rС

С помощью четырехполюсников типа rС можно реализовывать передаточные функции с простыми отрицательными вещественными полюсами и нулями, расположение которых ограничено структурой цепи. У лестничных схем четырехполюсников типа rС нули нахо­дятся на вещественной отрицательной полуоси, у перекрытых Т-об­разных схем — в левой полуплоскости, у мостовых и двойных Т-образных схем — как в левой, так и в правой полуплоско­стях [47].

Ограничимся рассмотрением реализации лестничных схем че­тырехполюсников типа rС,

Будем считать, что к входу такогб четырехполюсника подклю­чен идеальный источник напряжения, а выходные зажимы четы­рехполюсника разомкнуты (рис. 20.25). Такому включению, напри­мер, соответствует включение четырехполюсника между катодным повторителем, выходное сопротивление которого значительно меньше, чем входное сопротивление че­тырехполюсника, и входом усилительного каскада, входной ток у которого отсут­ствует.

Передаточная функция такого четырех­полюсника по напряжению в соответст­вии с формулой (20.38) будет иметь вид

. (20.53)

где Z₁₁ и Z₂₁ являются Z-параметрами холостого хода рассмат­риваемого четырехполюсника.

Вид передаточных функций по напряжению (20.53), которые можно реализовать с помощью четырехполюсника рассматривае­мого типа, определяется видом функций Z₁₁ и Z₂₁ этого четырехпо­люсника.

Вид функции Z₁₁ можно непосредственно установить по виду функции входного сопротивления Z_rC(p) двухполюсника типа rС (подразд. 20.5):

В этом выражении высшая степень полинома S(p) на единицу меньше или равна степени полинома q(p). Все нули полино­мов S(p) и q(p) расположены на вещественной отрицательной полуоси, являются простыми и взаимно чередуются. Ближайшим к началу координат является нуль полинома q(р). Этот нуль мо­жет находиться и в начале координат. Полином S(p) нулей, нахо­дящихся в начале координат, иметь не может.

Функцию Z₂₁, как показано в [47], можно представить в виде

где q(p) —рассмотренный выше полином;

т(р) —полином, степень которого не превышает степени полинома S(p).

Для лестничного четырехполюсника типа rС все нули поли­нома т(р) находятся на вещественной отрицательной полуоси, могут быть кратными и равными нулю. В частном случае поли­ном т(р) может быть равен вещественной положительной посто­янной величине.

Подставив выражения (20.54) и (20.55) в формулу (20.53), по­лучим

Из этого выражения и установленных выше свойств полиномов m(p) и S(p) следует, что с помощью лестничного четырехполюс­ника типа rС, к входу которого подключается идеальный источник э. д. с., а выходные зажимы которого разомкнуты, можно реализо­вать передаточную функцию по напряжению, которая обладает следующими свойствами:

а) все ее полюсы являются простыми и расположены на веще­ственной отрицательной полуоси, исключая нуль и бесконечность;

б) все ее нули также расположены на вещественной отрица­тельной полуоси, однако в отличие от полюсов они могут быть кратными.и находиться в начале координат и бесконечности.

При реализации рассматриваемого четырехполюсника по за­данной передаточной функции по напряжению (20.56) вначале на­ходят два из Z-параметров холостого хода четырехполюсника — Z₁₁ и Z₂₁. Для этого делят числитель и знаменатель уравнения (20.56) на полином q(p). Этот полином выбирается произвольно. Однако он должен удовлетворять указанным выше ограничениям: его сте­пень должна быть на единицу больше или равна степени поли­нома S(p), а его нули должны находиться на вещественной отри­цательной полуоси и чередоваться с нулями полинома S(p). При­чем ближайшим к началу координат должен быть нуль поли­нома q(p). Этот нуль может находиться и в начале координат.

Порядок реализации рассматриваемого четырехполюсника по найденным параметрам Z₁₁ и Z₂₁ аналогичен порядку реализации лестничного четырехполюсника типа LC. Так как полюсы Z₂₁ яв­ляются одновременно и полюсами Z₁₁, то они при реализации Z₁₁ реализуются автоматически. Поэтому порядок реализации четы­рехполюсника зависит только от расположения нулей передаточ­ной функции K_U(p)· Эти нули, как показано ранее при рассмотре­нии лестничных четырехполюсников типа LC, можно реализовать или последовательной ветвью, сопротивление которой имеет здесь полюс, т. е. равно бесконечности, или параллельной ветвью, сопро­тивление которой здесь равно нулю.

Следует отметить, что из-за некоторой произвольности выбора полинома q(p) можно получить большое количество различных схем четырехполюсников, реализующих заданную передаточную функцию. Полином q(р) целесообразно выбирать таким образом, чтобы схема четырехполюсника получилась с меньшим количе­ством элементов и чтобы эти элементы были более удобными для реализации. Для этого нужна определенная практика и опыт. Бо­лее подробно синтез четырехполюсников типа rС рассмотрен, на­пример, в [47]. Здесь же ограничимся рассмотрением двух при­меров.

Пример 20.8.

Произвести синтез четырехполюсников типа rС, если его передаточная функция по напряжению имеет вид

Решение.

По заданной функции К_U(р) найдем параметры четырехполюсника Z₁₁ и Z₂₁. Для этого выберем полином

q(p) =p (p + 2) = p² + 2р.

При этом получим

Как показано в примере 20.4, Z₁₁ можно представить в виде непрерывной дроби

Этой дроби соответствует четырехполюсник, схема которого приведена на рис. 20.26, где r₁ = 1; С₁₌ 0,5; r₂ = 4; С₂ = 1/6 —нормированные значения.

Передаточная функция полученного четырехполюсника имеет вид

т. е. получившийся при синтезе четырехполюсник реализует заданную переда­точную функцию с точностью до постоянного множителя k=3.

Пример 20.9.

Произвести синтез лестничного четырехполюсника типа rC, если его пере­даточная функция по напряжению

Решение.

Выбрав полином q(р)=р(р+2), получим

Как показано в примере 20.4, Z₁₁ можно представить в виде непрерывной дроби

которой соответствует схема четырехполюсника, приведенная на рис. 20.27.

20.11. ПОНЯТИЕ О СИНТЕЗЕ АКТИВНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

В последние годы в связи с развитием микроэлектроники боль­шое применение на практике получили активные rC-цепи. С по­мощью этих цепей можно реализовывать такие же функции, как и функции цепей, состоящих из пассивных элементов r, L и С [13, 38].

Многообразные методы и схемы реализации активных rC-цепей [13, 23, 30, 32, 38, 62, 63] в зависимости от типа активных приборов можно разделить на методы и схемы реали­зации с усилителями, имеющими конечный коэффициент усиления; с усилителями, имеющими бесконеч­ный коэффициент усиления (операционные усилители); с конвер­торами и с инверторами (гираторами).

Из этих методов реализации наибольшее распространение по­лучили схемы с усилителями, имеющими конечный коэффициент усиления, и схемы с операционными усилителями. К настоящему времени разработано большое число различных моделей схем с та­кими усилителями и методик их расчета. Наиболее распространен­ной является методика, сущность которой состоит в следующем. Выбирается некоторая электронная модель, представляющая со­бой соединение активного прибора с пассивными элементами r и С. Определяется выражение для передаточной функции модели, в которой неизвестными являются параметры активных и пассив­ных элементов. При этом можно использовать различные методы анализа цепей, например матричный метод или метод структур­ных схем. Передаточная функция модели приравнивается к задан­ной передаточной функции. Из сравнения этих функций записы­вается система уравнений, в результате решения которой опреде­ляются параметры синтезируемой цепи. Рассмотрим это на при­мерах.

Пример 20.10.

Реализовать передаточную функцию по напряжению К(р) = b₀/(a₂p² +a1p+1) на усилителе напряжения, управляемом напряжением с конечным коэффи­циентом усиления, если b₀=10, a₂= 1 a₁=1,4.

Решение.

Для реализации выберем схему, приведенную на рис. 20.28. Считая усили­тель напряжения идеальным, т. е. приняв его входное сопротивление равным бесконечности, а выходное сопротивление равным нулю, получим эквивалентную схему, показанную на рис. 20.29. Для определения передаточной функции рас­сматриваемой цечи воспользуемся методом структурных схем. Передаточные функции отдельных звеньев обобщенной структурной схемы цени с обратной связью (см, рис. 19.5) получим следующим образом.

Подключив ко входным зажимам цепи (см. рис. 20.29) источник напряже­ния u_вх и приняв k=0, получим:

К₀(р) = u_ВЫХ(p)/U_BX(р) = 0;

.

Подключив к выходным зажимам цепи источник напряжения u_выx, приняв k=0 и замкнув накоротко входные зажимы цепи, получим

.

Разомкнув цепь обратной связи левее зажимов 3—3', подключив к этим зажимам источник напряжения u₁ и замкнув накоротко входные зажимы цепи, получим

К_a(Р) = U_ВЫХ (p)/U₁(р) =k.

Считая, что в рассматриваемой схеме k>0, получим передаточную функцию цепи но напряжению

Сравнивая эту функцию с заданной, запишем систему уравнений:

Решение этой системы можно найти методом проб. Одно из таких реше­ний дает следующие параметры элементов: r₁= 1 Ом; r₂=l Ом; С₁ = 0,4 Ф; С₂=2,5 Ф; k=10.

Пример 20.11.

Реализовать передаточную функцию по напряжению К(р) = 1/(р²+р+1) на операционном усилителе.

Решение.

Для реализации выберем схему, приведенную на рис. 20.30 [13]. Как и в предыдущем примере, для определения передаточной функции этой схемы вос­пользуемся методом структурных схем. При этом, считая, что операционный усилитель является идеальным ( ), получим:

Подставив эти значения в выражение для передаточной функции обобщен­ной структурной схемы цепи с обратной связью (19.3), получим

Сравнив эту функцию с заданной, получим систему нелинейных уравнений:

одно из решений которой дает следующие параметры элементов: r₁=l Ом; r₂=1 Ом; г₄=0,5 Ом; С₃=4 Ф; С₅=0,5 Ф.

Следует отметить, что для улучшения стабильности характери­стик активных rC-цепей реализацию их передаточных функций производят, как правило, путем развязанного каскадного включе­ния отдельных звеньев с передаточными функциями первого и вто­рого порядков.

Современное состояние и проблемы синтеза активных rC-цепей наиболее полно освещены в работе [13], в которой дается система­тический обзор практически всех публикаций по вопросам синтеза активных rC-цепей с сосредоточенными постоянными параметрами.