3. Логарифмічні частотні характеристики динамічних ланок

Розглянемо логарифмічні частотні характеристики динамічних ланок. Ми з вами вже знаємо п’ять динамічних ланок. Розглянемо їх частотні функції та частотні характеристики. Частотні функції ланок найкраще знаходити, користуючись комплексними передаточними функціями цих ланок. Порядок отримання логарифмічних частотних характеристик такий:

1. Записуємо КПФ ланки.

2. Приводимо її до алгебраїчної форми.

3. Знаходимо дійсну Р(ω) і уявну Q(ω) передаточні функції.

4. Знаходимо модуль і аргумент КПФ (амплітудно-частотну А(ω)та фазово-частотну φ(ω) функції).

5. Обраховуємо логарифмічні частотні функції L(ω) та φ(ω).

6. Будуємо графік логарифмічної амплітудно-частотної функції (характеристику ЛФЧХ) методом асимптот.

7. Будуємо логарифмічну фазово-частотну характеристику ЛФЧХ.

8. Будуємо годограф комплексної передаточної функції (АФЧХ).

Підсилювальна ланка

1. КПФ підсилювальної ланки W(jω) = К.

2. Дійсна Передатна функція: Р(ω) = К, уявна передатна функція Q(ω) = 0.

3. Модуль КПФ K.

4. Аргумент КПФ .

5. Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика L(ω) = 20 lgK.

6. Графік логарифмічних частотних характеристик та АФЧХ підсилювальної ланки показано на рис. 6.14.

Рис.6.14 – Логарифмічні частотні характеристики та АФЧХ

підсилювальної ланки

а - логарифмічна амплітудно частотна (ЛАЧХ), б - логарифмічна фазово частотна (ЛФЧХ), в - амплітудно фазова частотна.

Аперіодична ланка.

1. Передатна функція:

. (6.81)

Комплексна Передатна функція:

. (6.82)

2. Щоб представити КПФ в алгебраїчній формі, потрібно чисельник та знаменник помножити на комплексно-спряжену величину до знаменника. У даному випадку це буде величина: 1- Т. У результаті одержимо

. (6.83)

3. Дійсна Передатна функція , уявна Передатна функція: (6.84)

4. Аргумент КПФ (амплітудно-частотна функція А(ω)):

(6.85)

Фаза КПФ (фазово-частотна функція φ(ω)):

. (6.86)

5. Логарифмічна амплітудно-частотна функція

. (6.87)

6. Побудову графіка логарифмічної амплітудно-частотної характеристики виконаємо методом асимптот.

Розглянемо асимптоту при малих значеннях частоти ω0 . Для таких частот виконується умова . Тоді у формулі (ЛФЧХ) можна знехтувати величиною в порівнянні з 1. Отже матимемо асимптоту при ω0, рівну

. (6.88)

Це горизонтальна асимптота, яка проходить на рівні 20lgK і на логарифмічній частотній характеристиці йде у від’ємному напрямку.

Розглянемо асимптоту при великих значеннях частоти . Для таких частот виконується умова . Тоді у формулі (ЛФЧХ) можна знехтувати 1 порівняно до величини . Матимемо асимптоту при , рівну:

. (6.89)

Величини lg ω при побудові логарифмічних частотних характеристик відкладуться по осі х. Отже х = lg ω.

Тобто графік асимптоти описується рівнянням

. (6.90)

Це пряма лінія з тангенсом кута нахилу -20. Називають її похилою асимптотою. Якщо розглядати найменування величин, які відкладені за осями логарифмічної частотної характеристики, то величину нахилу можна визначити як 20 децибел/декаду, адже за віссю ординат відкладаємо децибели, а за віссю абсцис – декади.

Щоб побудувати похилу асимптоту, потрібно крім нахилу асимптоти знайти хоча б одну точку на ній. Розглянемо випадок, коли частота рівна . Тоді в рівнянні асимптоти матимемо

, (6.91)

Тобто похила асимптота перетинається з горизонтальною асимптотою при частоті рівній . Ця частота має назву частоти спряження. Знаючи це, можна побудувати асимптоти ЛАЧХ.

Сама АЧХ на частоті спряження має значення

. (6.92)

Тобто ЛАЧХ проходить на 3 дБ нижче точки перетину асимптот.

Графік ЛАЧХ аперіодичної ланки наведено на рис. 6.15.

7. Графік логарифмічної фазово-частотної функції Будуємо згідно з формулою .

Це звичайна функція арктангенса. При ω0 вона асимптотично наближується до нуля. При значення арктангенса прагне до π/2. Для побудови графіка знайдемо значення ЛФЧХ на частоті . Воно рівне

. (6.93)

За обрахованими значеннями будуємо графік. Вигляд його показано на рис.6.15.

Отже логарифмічна амплітудно-частотна функція аперіодичної ланки має дві асимптоти, горизонтальну і похилу. Горизонтальна асимптота проходить на рівні 20lgK, а похила асимптота має нахил 20 дБ/дек і перетинається з горизонтальною асимптотою на частоті спряження .

Логарифмічна фазово-частотна характеристика аперіодичної ланки являє собою графік арктангенса, максимальний фазовий зсув для неї складає -90⁰ і значення на частоті спряження дорівнює -45⁰.

8. Графік амплітудно-фазової частотної характеристики будуємо за формулами для дійсної і уявної характеристик P(ω) Q(ω),

Відкладаємо значення за при різній частоті за дійсною та уявною осями комплексної площини . Це буде півколо з радіусом К/2, центром розміщеним уздовж дійсної осі на відстані К від початку координат. Півколо проходить в нижній півплощині.

Рис. 6.15 – Графік ЛАЧХ і ЛФЧХ аперіодичної ланки

Інтегруюча ланка

1. Передатна функція:

. (6.94)

Комплексна Передатна функція:

(6.95)

2. Щоб представити КПФ в алгебраїчній формі, потрібно чисельник та знаменник помножити на комплексно-спряжену величину до знаменника. У даному випадку це буде величина: - Т. У результаті одержимо

Рис.6.16 – Амплітудно-фазова частотна характеристика аперіодичної ланки

. (6.96)

3. Дійсна Передатна функція , уявна Передатна функція

4. Аргумент КПФ (амплітудно-частотна функція А(ω)):

. (6.97)

Фаза КПФ (фазово-частотна функція φ(ω)):

. (6.98)

5. Логарифмічна амплітудно-частотна функція

. (6.99)

6. Графік логарифмічної амплітудно-частотної характеристики матиме вигляд

. (6.100)

Це пряма, нахилена зліва на право з кутовим коефіцієнтом нахилу рівним -20 дБ/дек.

7. Графік логарифмічної фазово частотної функції (ЛФЧХ) буде горизонтальна пряма, паралельна осі частот, зміщена вниз на π/4.

8. АФЧХ являє собою нижню частину комплексної осі, причому збільшення частоти відповідає наближенню до початку координат комплексної осі.

Вигляд логарифмічних частотних характеристик інтегруючої ланки показано на рис. 6.17.

Рис. 6.17 – Логарифмічні частотні характеристики інтегруючої ланки:

а - логарифмічна амплітудно-частотна (ЛАЧХ); б - логарифмічна фазово частотна (ЛФЧХ); в – амплітудно-фазова частотна.

Диференціюча ланка

1. Передатна функція:

. (6.101)

Комплексна Передатна функція: .

2. Алгебраїчна форма КПФ

. (6.102)

3. Дійсна Передатна функція , уявна Передатна функція .

4. Аргумент КПФ (амплітудно частотна функція А(ω)):

. (6.103)

Фаза КПФ (фазово-частотна функція φ(ω)):

. (6.104)

5. Логарифмічна амплітудно-частотна функція

. (6.105)

6. Графіка логарифмічної амплітудно-частотної характеристики (ЛАЧХ) матиме вигляд

. (6.106)

Це пряма, яка з кутовим коефіцієнтом рівним 20 дБ/дек.

7. Графік логарифмічної фазово частотної функції буде горизонтальна пряма, паралельна осі частот, зміщена вверх на π/4

8. АФЧХ являє собою верхню частину комплексної осі, причому збільшення частоти відповідає зростанню значень уздовж комплексної осі

Рис. 6.18 – Логарифмічні частотні характеристики диференційної ланки.

а - логарифмічна амплітудно частотна (ЛАЧХ) б - логарифмічна фазово частотна (ЛФЧХ) в - амплітудно фазова частотна.

Коливальна ланка

Побудуємо частотні характеристики коливальної ланки.

1. Передатна функція коливальної ланки:

. (6.107)

1. Комплексна передатна функція:

. (6.108)

2. Щоб представити КПФ в алгебраїчній формі, чисельник та знаменник помножимо на комплексно спряжену величину до знаменника. У даному випадку це буде величина

. (6.109)

Одержимо

. (6.110)

3. Дійсна Передатна і уявна передатні функції

; (6.111)

. (6.112)

4. Аргумент КПФ (амплітудно-частотна функція А(ω)):

. (6.113)

Фаза КПФ (фазово-частотна функція φ(ω)):

(6.114)

5. Логарифмічна амплітудно-частотна функція.

. (6.115)

6. Побудову графіка логарифмічної амплітудно-частотної характеристики виконаємо методом асимптот.

Асимптота при малих значеннях частоти ω0 . Для цих частот виконується умова . Тоді можна знехтувати величиною а також величиною 4d²T²ω² у порівнянні з 1. Отже матимемо при ω0 асимптоту

. (6.116)

Це горизонтальна асимптота, аналогічна аперіодичній ланці.

Асимптота при великих значеннях частоти .. Для цих частот виконується умова . Можна знехтувати 1 порівняно до величини . Можна знехтувати величиною 4d²T²ω²: в порівнянні з величиною :

. (6.117)

Величини lg ω при побудові логарифмічних частотних характеристик відкладуться по осі х. Отже х = lg ω.

Тобто графік асимптоти описується рівнянням

. (6.118)

Це похила асимптота з кутовим коефіцієнтом нахилу -40 дБ/дек. Вона перетинає горизонтальну асимптоту на частоті спряження .

Значення ЛАЧХ на частоті спряження

(6.119)

Величина d для коливальної ланки має значення в межах від 0 до 1.

Якщо d=1, то . Тобто графік ЛАФЧХ проходить нижче точки перетину асимптот на 6 дБ.

Якщо d<1, то графік ЛАФЧХ піднімається вище і при d=0,5 точно співпадає з точкою співпадає перетину асимптот.

Якщо d<0,5 то ЛАЧХ на частоті спряження проходить над точкою перетину асимптот і чим менше буде значення d, тим вище буде знаходитись точка ЛАФЧХ.

7. Графік ЛАЧХ коливальної ланки показано на рис. 6.19. Він має дві асимптоти: горизонтальну і нахилену. Кутовий коефіцієнт нахилу рівний -40 дБ/дек. На частоті спряження ЛАЧХ коливальної ланки проходить вище d<0,5, або нижче d>0,5 точки перетину асимптот залежно від величини постійної загасання d.

Основна відмінність ЛАЧХ коливальної ланки від аперіодичної полягає в тому, що кутовий коефіцієнт нахилу асимптоти коливальної ланки дорівнює -40 дБ/дек, тоді як у аперіодичної -20дБ/дек.

Графік логарифмічної фазово частотної функції (ЛФЧХ) буде арктангенс. Максимальний зсув фаз дорівнює –π (180⁰). Частоті спряження відповідає точка на ЛФЧХ -π/2.

8. АФЧХ являє собою дугу, яка проходить через два квадранти нижньої частини комплексної площини. Починається вона на додатній частині дійсної осі. Проходить через від’ємне значення уявної осі і закінчується в точці початку координат.

Частотні характеристики коливальної ланки показано на рис. 6.19.

Рис. 6.19 – Логарифмічні частотні характеристики коливальної ланки.

а - логарифмічна амплітудно частотна (ЛАЧХ); б - логарифмічна фазово частотна (ЛФЧХ); в - амплітудно фазова частотна.

Реальна диференційна ланка

1. Передатна функція:

(6.120)

Комплексна Передатна функція:

. (6.121)

2. Щоб представити КПФ в алгебраїчній формі, потрібно чисельник та знаменник помножити на комплексно спряжену величину до знаменника. У даному випадку це буде величина

. (6.122)

У результаті одержимо

. (6.123)

3. Дійсна Передатна і уявна передаточні функції

, (6.124)

. (6.125)

4. Аргумент КПФ (амплітудно-частотна функція А(ω)):

. (6.126)

Фаза КПФ (фазово-частотна функція φ(ω)):

(6.127)

5. Логарифмічна амплітудно-частотна функція.

. (6.128)

6. Побудову графіка логарифмічної амплітудно частотної характеристики виконаємо методом асимптот.

Асимптота ω0 .

. (6.129)

Це похила асимптота з нахилом +20 дБ/дек.

Асимптота

. (6.130)

Це горизонтальна асимптота.

Графіки логарифмічних частотних характеристик показані на рис.6.20.

Рис. 6.20 – Логарифмічні частотні характеристики реальної диференційної ланки.

а - логарифмічна амплітудно частотна (ЛАЧХ); б - логарифмічна фазово частотна (ЛФЧХ), в - амплітудно фазова частотна.

Контрольні запитання для перевірки засвоєння навчального матеріалу

1. Як перетворити комплексну передаточну функцію, представлену у вигляді відношення до алгебраїчної форми?

2. Як обрахувати модуль і аргумент комплексної передаточної функції?

3. Що таке годограф комплексної функції?

4. Який зв’язок існує між комплексною передаточною функцією та частотними функціями системи?

5. Отримайте рівняння і побудуйте графік передаточних функцій підсилюючої, інтегруючої та диференційної ланок.

6. Які асимптоти має частотна характеристика коливальної ланки.

7. Яка максимальна величина зсуву фаз коливальної ланки першого і другого порядку?

8. Який зсув фаз коливальної ланки на частоті спряження?

9. На якій віддалі від перетину асимптот проходить графік ЛАЧХ аперіодичної ланки на частоті спряження?

10. Який вигляд мають АФЧХ інтегруючої і підсилюючої ланки?