3. Критерій стійкості Михайлова

Цей критерій був запропонований в 1938 р. Він дозволяє визначити стійкість системи за годографом Михайлова. Він зручний для дослідження стійкості складних систем, порядок диференційного рівняння яких більше ніж 5. Формулюється критерій таким чином.

Для стійкості системи потрібно, щоб годограф Михайлова, починаючись при ω = 0 на додатній частині дійсної осі, при зростанні ω проходив послідовно через n квадрантів комплексної площини де n – порядок полінома. Квадрантами називають області комплексної площини, що знаходяться обмежені півосями.

Годограф Михайлова будують як годограф характеристичного комплексу. Характеристичний комплекс одержують заміною оператора р в характеристичному поліномі на уявну величину j ω ( :

(7.6)

Після вказаної заміни можна виділити дійсну і уявну частини:

. (7.7)

Обраховують значення А(ω) та В(ω) при збільшенні ω від нуля ω = 0 до достатньо великої величини , і будують годограф в комплексній площині, відкладаючи послідовно обраховані значення. На рис. 7.1 наведено приклади годографа Михайлова для стійких і нестійких систем.

Рис. 7.1 – Приклади годографа Михайлова: а - для стійких систем, б - для нестійких систем

Умовою знаходження системи на межі стійкості є проходження годографа через початок координат комплексної площини.

Запас стійкості системи можна визначити за величиною віддалі від точки перетину дійсної осі до початку координат. Варіантом цього критерію є визначення точок перетину годографом осей комплексної площини. Якщо годограф перетинає перемінно то дійсну, то комплексну площини, то система стійка, якщо в деякому діапазоні частот годограф двічі перетинає комплексну чи дійсну вісь, то система нестійка. У вірності такого правила можна переконатись, розглядаючи діаграми на рис. 7.1 б). Дане формулювання зручне тим, що просте за результатами розрахунку - не будуючи графіка, можна визначити стійкість системи.

3. Частотний критерій стійкості Найквіста

Критерій був розроблений американським вченим Найквістом у 1932 р. для дослідження електронних підсилювачів зі зворотним зв’язком. Пізніше він набув більшого використання для дослідження будь-яких САК. Перевагою його над іншими є те, що згідно з ним стійкість системи можна визначити як шляхом розрахунків, будуючи АФЧХ розімкнутих систем , так і експериментально, вимірюючи АФЧХ за допомогою приладів.

Критерій стійкості Найквіста формулюється таким чином: Замкнута САК є стійкою, якщо АФЧХ розімкнутої системи не охоплює точку –1 на дійсній осі комплексної площини (точку з координатами (-1, j0)). Ця умова є необхідною і достатньою для визначення стійкості САК.

Поняття розімкнутої системи ми вже розглядали. Це система, що являє собою повний ланцюжок зворотного зв’язку при умові його розриву в одному місці.

Приклади АФЧХ розімкнутих ланцюгів зворотного зв’язку стійких і нестійких систем показано на рис. 7.2.

Рис. 7.2 – Приклади перевірки стійкості системи за критерієм Найквіста (АФЧХ розімкнутої системи: а- для стійких систем, б- для нестійких систем)

Для астатичних систем, систем, які мають у своєму складі інтегруючі ланки АФЧХ розімкнутої системи простягаються в нескінченність. Для того, щоб визначити стійкість такої системи, потрібно доповнити АФЧХ уявною дугою радіусом рівним безконечності до замикання з додатнім значенням дійсної осі. Стійкою вважається система для якої точка (-1, j0) поза виділеною частиною. Приклад таких САК показано на рис. 7.3.

Рис. 7.3 – Приклади АФЧХ розімкнутої системи стійких астатичних САК