Характеристики нелінійних елементів
Нелінійними САК є системи, в яких рівняння динаміки нелінійні, тобто містять члени, яких функції та їх похідні знаходяться в степені, відмінній від одиниці, в яких є члени з добутками невідомих функцій або коефіцієнти рівнянь залежать від аргументу.
Для нелінійних систем принцип суперпозиції не виконується, тобто реакція системи на суму дій не дорівнює сумі реакцій на кожну дію зокрема.
Практично всі реальні системи є нелінійними. Але значне число реальних САК можна лінеаризувати. При лінеаризації ми розглядаємо динаміку систем при відносно малих змінах вхідних величин. Поряд з тим існують системи, які принципово не можуть бути лінеаризованими. Це системи, до складу яких входить хоча б один суттєво нелінійний елемент.
До суттєво нелінійних елементів відносяться елементи, характеристики яких мають різкі переломи, або розриви. Прикладами таких елементів є механічні з’єднання з люфтом, вузли механічних систем з сухим тертям, підсилювачі з насиченням, магнітні матеріали з петлею гістерезисну, релейні елементи та ін.
Характеристики таких елементів спрощено можна бути подати у вигляді ламаних чи розривних ліній. Приклади нелінійних елементів показано на рис.8.1.
Рис.8.1 – Типові характеристики суттєво нелінійних елементів
На рис.8.1, а показана характеристика типу підсилювач з насиченням. Якщо на такий елемент подати певний сигнал, то він обрізує його при досягненні межі насичення. На рис.8.1, б наведена характеристика нелінійних елементів із зоною нечутливості. Сигнал, який пройшов через такий елемент, матиме нульові значення , якщо його величина не перевищила певної величини порогу нечутливості. Рис.8.1, в відповідає нелінійному елементу, який має зону нечутливості та насичення. Рис. 8.1 г) є характеристикою нелінійного елемента з гістерезисом. Такому елементу відповідають деякі магнітні матеріали, механічні системи з сухим тертям. Рис.8.1, д відповідає механічному елементу з люфтом. Побудова вихідних сигналів при подачі синусоїдального сигналу на вхід нелінійного елемента показана на рис.8.2.
Рис. 8.2 – Побудова вихідного сигналу при синусоїдальному сигналі на вході нелінійного елемента
Проходячи через нелінійний елемент, будь-який сигнал змінює свою форму. Тому вивчення нелінійних систем є складним завданням. Сучасна математика не володіє універсальними методами, крім методів числового інтегрування, розв’язання нелінійних диференційних рівнянь. Розроблено методи аналізу тільки деяких типів систем з нелінійними елементами. Ми, враховуючи обмеженість часу, виділеного на вивчення цього курсу, тільки познайомимось з найбільш загальними методами і розглянемо основні відмінності нелінійних систем від лінійних. Детальніший аналіз є завданням більш широкого курсу, який вивчають в інших вузах і є завданнями наукових досліджень.
Під час вивчення динаміки нелінійних систем основну увагу приділяють вивченню автоколивань. Автоколивання – це характерна особливість нелінійних систем, яка не властива лінійним системам. У нелінійній системі, при незмінних значеннях вхідних величин можуть виникати і підтримуватися коливання певної форми. Це можуть бути прості, майже синусоїдальні коливання, або коливання досить складної форми. Оскільки вони виникають самостійно, їх називають автоколиваннями. Прикладами нелінійних системи з автоколиваннями може бути годинник, генератори різних типів, система кровообігу і серце людини та багато інших. Автоколивання у деяких нелінійних системах є корисними, їх намагаються підтримувати та керувати їх параметрами. В інших системах автоколивання є шкідливими і їх намагаються усунути або обмежити такими значеннями, які не завдають шкоди роботі системи.
Під час математичного аналізу динаміки в нелінійній системі виділяють всі елементи з несуттєвими нелінійностями і їх лінеаризують, а суттєво нелінійні елементи спрощують і зводять до типових нелінійних елементів. Таким чином структуру нелінійної системи приводять до схеми, в якій основною частиною є лінійна частина і один нелінійний елемент. Таку схему показано на рис. 8.3. Аналіз спрощеної системи виконують різними методами, з яких найбільш вживаними є метод гармонічного балансу й методи фазового портрету.
Рис.8.3 – Спрощене представлення нелінійної системи