2.4.4. Основное уравнение лопастных машин (уравнение Эйлера)

Уравнение Эйлера устанавливает зависимость между скоростями потока и энергией, сообщаемой жидкости.

Как известно из гидромеханики, если скорость жидкости или газа, протекающего по какому - либо каналу, меняется по величине или направлению, то на стенки канала действует сила Р, которая равна изменению количества движения в единицу времени:

.

Если жидкость протекает через вращающееся колесо, то на него действует момент, равный разности моментов количества движения входящего и выходящего потоков жидкости. Чтобы уравновесить этот момент количества движения, необходимо на колесо воздействовать равным моментом внешних сил, но в противоположном направлении.

Если через колесо протекает , кг/с жидкости, то момент количества движения относительно оси вращения на радиусе r равен:

.

В этом произведении .

Момент, с которым поток воздействует на вращающееся колесо (рис. 2.29), равен:

,

тогда

.

Рис. 2.29. Схема к выводу уравнения Эйлера

Удельная работа, передаваемая рабочим колесом газу, равна:

,

а теоретический напор, создаваемый рабочим колесом при бесконечном числе лопаток - .

Если газ входит радиально на лопатки рабочего колеса ( ), то уравнение для теоретического напора имеет следующий вид:

.

Уравнение Эйлера для центробежного насоса можно представить в иной форме. Из треугольников скоростей следует

,

,

, ,

тогда теоретический напор равен

где - составляет величину работы (напора), которая затрачивается в колесе на повышение давления вследствие действия на газ центробежных сил;

- составляет величину работы, которая затрачивается в колесе на повышения давления вследствие снижения относительной скорости с w₁ до w₂;

- величина работы, затраченной на повышение кинетической энергии газа в колесе.

При сжатии без потерь статическое давление в рабочем колесе повышается на величину, соответствующую работе, называемой статическим напором:

,

тогда динамический напор равен:

,

а уравнение для теоретического напора имеет вид:

Отношение статического напора к теоретическому

называют степенью реактивности лопаточных машин, которая показывает, какую долю составляет потенциальная энергия в общей энергии, передаваемой газу в рабочем колесе.

При отсутствии предварительного закручивания на входе С_1u =0 и равенстве радиальных проекций абсолютных скоростей на входе и выходе из рабочего колеса С_1r = С_2r = С₁

= = ,

.

Из треугольника скоростей на выходе следует:

,

тогда степень реактивности равна

.

С увеличением угла на выходе потока из рабочего колеса ₂ степень реактивности уменьшается, повышается доля динамической составляющей, что нежелательно. Степень реактивности характеризует форму лопаток с точки зрения создаваемого ими статического напора. Машины с малой степенью реактивности имеют более низкий КПД, чем насосы с большей степенью реактивности. Это объясняется тем, что у лопаток с малой степенью реактивности динамический напор больше статического и поэтому выходные скорости достаточно высоки. Для их снижения используются диффузоры, которые имеют низкий КПД.

По степени реактивности различают три типа колес: реактивные (0,5 <  < 1); радиальные ( = 0,5); активные (0 <  < 0,5).

Колеса центробежных насосов, как правило, выполняют с загнутыми назад лопатками, хотя они создают меньший напор. Это обусловлено тем, что в рабочих колесах радиального и активного типа ( 90) межлопаточный канал получается коротким с большим углом диффузорности, в связи с чем гидравлические потери в таких колесах значительно больше, чем в межлопаточном канале реактивного колеса. С увеличением угла форма рабочих характеристик приводит к неустойчивой работе насоса. В современных центробежных насосах лопатки выполняют загнутыми назад под углом 18 - 30.