Вопрос 57. Ассиметрия и эксцесс

Асимметрия – это показатель симметричности / скошенности кривой распределения, а эксцесс определяет ее островершинность.

При левостронней асимметрии ее показатель является положительным и в распределении преобладают более низкие значения признака. При правостронней – показатель положительный и преобладают более высокие значения. У всех симметричных распеделений (в том числе и у нормального распределения) величина асимметрии равна нулю. Если в распределении преобладают значения близкие к среднему арифметическому, то формируется островершинное распределение. В этом случае показатель эксцесса стремится к положительной величине. У нормального распределения эксцесс равен нулю. Если у распределения 2 вершины (бимодальное распределение), то тогда эксцесс стремится к отрицательной величине.

Распределение оценивается как предположительно близкое к нормальному, если установлено, что от 50 до 80 % всех значений располагаются в пределах одного стандартного отклонения от среднего арифметического, и коэффициент эксцесса по абсолютной величине не превышает значения равного двум. Распределение считается достоверно нормальным если абсолютная величина показателей асимметрии и эксцесса меньше их ошибок репрезентативности в 3 и более раз.

Вопрос 58. Оценка отклонения теоретического распределения от нормального

Эмпирическим называют распределение относительных частот. Эмпирические распределения изучает математическая статистика. Теоретическим называют распределение вероятностей. Теоретические распределения изучает теория вероятностей. В этом параграфе рассматриваются теоретические распределения. При изучении распределений, отличных от нормального, возникает необходимость количественно оценить это различие. С этой целью вводят специальные характеристики, в частности, асимметрию и эксцесс. Для нормального распределения эти характеристики равны нулю. Поэтому, если для изучаемого распределения асимметрия и эксцесс имеют небольшие значения, то можно предположить близость этого распределения к нормальному. Наоборот, большие значения асимметрии и эксцесса указывают иа значительное отклонение от нормального.

Можно доказать, что для симметричного распределения (график такого распреде­ления симметричен относительно прямой х=М(.Х)) каждый центральный момент нечетного порядка равен нулю. Для несимметричных распределений центральные моменты не­четного порядка отличны от нуля. Поэтому любой из этих моментов (кроме момента первого порядка, который равен нулю для любого распределения) может служить для оценки асимметрии; естественно выбрать простейший из иих, т. е. момент третьего порядка Однако принять этот момент для оценки асимметрии неудобно потому, что его величина зависит от единиц, в которых измеряется случайная ве­личина. Чтобы устранить этот недостаток, ц3 делят на о8 и таким образом получают безразмерную характеристику.

Асимметрией теоретического распределения называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения: Асимметрия положительна, если «длинная часть» кри­вой распределения расположена справа от математического ожидания; асимметрия отрицательна, если «длинная часть» j кривом расположена слева

от математического ожидания. Практически определяют знак асимметрии по положению кривой распределения относительно мод(точки максимума дифференциальной функции если длинная часть кривой расположена правее моды, то асимметрия положительна

если слева —отрицательная.

Для оценки «крутости», т. е. большего или меньшего Рис. Ю. подъема кривой теоретического распределения по сравнению с нормальной кривой, пользуются характеристикой эксцессом. Эксцессом теоретическою распределения называют ха­рактеристику, которая определяется равенством Е„ = —3. * 0«

Для нормального распределения -jjf =3, и, следовательно, эксцесс равен нулю. Поэтому, если эксцесс некоторого распределения отличен от нуля, то кривая этого распределения отличается от нормальной кривой: если эксцесс положительный, то кривая имеет более высокую и «острую» вершину, чем нормальная кривая (рис. 0 л 11, а); если эксцесс отрица­

тельный, то сравниваемая кривая имеет более низкую и «плоскую» вершину, чем нор­мальная кривая (рис. 11, б). /! \ При этом предполагается, что

х нормальное и теоретическое распределения имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии.