26. Показатели безотказности. Интенсивность отказов и параметр потока отказа

Интенсивность отказов l (t) - условная плотность вероятности возникновения отказа невосстанавливаемого объекта, определяемая для рассматриваемого момента наработки t при условии, что до этого момента отказ не возник.

По определению

где F(D t|t) - условная вероятность отказа объекта на интервале D t , определяемая при условии, что в момент t объект находился в работоспособном состоянии; P(D t|t) - соответствующая вероятность безотказной работы. Получаем

Рассмотрим последнее равенство:

Умножая обе части этого равенства на -dt и интегрируя в пределах от 0 до t , получаем

Потенцируя последнее равенство, получаем формулу, которую называют основной формулой надежности:

В частном случае при l (t) = l = const основная формула надежности (2.10) дает экспоненциальный закон распределения, широко используемый для моделирования внезапных отказов

Типичная кривая изменения интенсивности отказов невосстанавливаемого объекта (параметра потока отказов восстанавливаемого объекта - см. раздел 2.5) с ростом наработки (l - характеристика объекта) Параметр потока отказов(или удельная повреждаемость) ω(t) — это отношение количества ∆n (t) отказавших единиц оборудования в единицу времени ∆t к числу т (t) единиц оборудования, работающих в данный отрезок времени: ω(t) = ∆n (t)/ т (t) ∆t Характеристика ω(t) может иметь весьма сложную зависимость от времени. Особый интерес в связи с этим представляет зависимость ω(t) от срока эксплуатации, на основании которой можно установить периоды приработки, нормальной работы и старения для отдельных видов оборудования.

27. Аналитические зависимости между показателями безотказности

Вероятность отказов q (t ) определяется выражением q t = p( t < t) .

С другой стороны, выражение p (t0 < t ) по определению функции распределения есть не что иное как функцияраспределения времени до отказа:

q (t ) = F (t ).

Тогда, Учитывая, что p(t) = 1-q(t), получим

Отсюда следует, что

f (t ) = q¢(t ) = -p¢(t ) .

Подставим значение плотности вероятности отказов в выражение интенсивности отказов:

В результате получится дифференциальное уравнение относительно вероятности безотказной работы:

Эта важная зависимость широко используется в теории надёжности. Она является обобщённым законом надёжности невосстанавливаемых ТУ в дифференциальной форме. Результатом интегрирования этого уравнения будет

Откуда

Проведём аналогичные преобразования для среднего времени безотказной работы:

Интегрируем полученное выражение по частям: Поэтому

Это выражение связывает среднюю наработку до отказа с вероятностью безотказной работы. Отсюда следует, что средняя наработка до отказа равна площади под кривой вероятности безопасной работы. Необходимо учитывать, что приведённые показатели надёжности относятся к работоспособным объектам, включённым в работу в нулевой момент времени. Рассмотрим более подробно период нормальной эксплуатации. В этот период в основном имеют место внезапные отказы. Они, имея случайный характер происхождения, подчиняют закону распределения, вытекающему из условий постоянства интенсивности отказов. Поэтому для этого периода можно считать, что интенсивность отказов является практически постоянной величиной, т.е. l(t ) = const = l . В связи с этим основные зависимости примут вид:

Полученное выражение для p(t) называют экспоненциальным законом надёжности. В период нормальной эксплуатации поток отказов является простейшим. Принимая во внимание последнее выражение, получим При t = T вероятность безотказной работы будет равна

Это говорит о том, что для обеспечения высокого уровня надёжности невосстанавливаемых ТУ следует выбирать срок их службы намного меньший, чем среднее время безотказной работы. Так, например, если t / T = 0,1, то p(t) = 0,9, или сокращение срока службы в 10 раз ведёт к увеличению вероятности безотказной работы приблизительно в 2,4 раза.

Если срок службы ТУ во много раз меньше среднего времени безотказной работы, то характеристики надёжности удобно рассчитывать по упрощённым формулам. Разлагая выражение в ряд и принимая во внимание только первый член этого ряда, получим:

Эти формулы дают хорошее приближение при lt < 0,1. При экспоненциальном законе распределения вероятность может быть переписана в следующем виде:

где ( ) tb ta e-l - есть безусловная вероятность безотказной работы ТУ в интервале времени ( ) b a t -t . Таким образом, в период нормальной эксплуатации вероятность безотказной работы в течение некоторого времени совершенно не зависит от величины наработки данного ТУ, предшествующего отрезку этого времени