1.3. План расчета рамы методом сил
1.Определение степени статической неопределимости системы по формуле (1).
2.Запись системы канонических уравнений.
3.Выбор основной системы.
4.Построение эпюр изгибающих моментов в основной системе:
-
от единичных неизвестных сил
;
-
построение сумарной единичной эпюры
;
- грузовой эпюры Mp (от внешней нагрузки).
5.Вычисление коэффициентов при неизвесных (δii, δik) и их проверка.
6.Вычисление свободных членов системы канонических уравнений (Δip).
7.Решение системы канонических уравнений (нахождение неизвестных).
8.Построение окончательной эпюры моментов M,используя формулу (2).
9.Деформационная проверка правильности построения эпюры M.
10.Построение эпюры Q по эпюры М.
11.Построение эпюры N по эпюры Q.
12.Проверка правельности построения эпюр M, Q, N.
1.4. Пример 1. Расчет рамы методом сил
Задание: Для статически неопределимой рамы (рисунок 2) требуется построить эпюры изгибающих моментов (М), поперечных сил (Q), продольных сил (N) и проверить правильность построения данных эпюр.
Дано: а=4 м, b=3
м, h=3,5
м, q1
=3 т/м, P3=7
.
Коэффициенты относительной жесткости: K1=0,7; K2=1; K3=0,7;
K4=1; K5=0,6.
Рисунок 2
Решение
1.Определение числа неизвестных. Количество неизвестных опреде-
ляем по формуле (1)
n=3k – ш – 2п = 3*2 – 3 = 3 – рама три раза статически неопределима.
2. Выбор основной системы. Основную систему выбираем путем введе-
ния в жеский узел С и заделку D шарниры, неизвестными будут изгибающие моменты: Х1 , Х2, Х3. Основная система представлена на рисунке 3.
3.Запишем систему канонических уравнений метода сил:
3.Построение эпюр изгибающих моментов в основной системе.
Построим эпюры изгибающих моментов в основной системе от еди-
ничных неизвестных сил.
1.Построение
эпюры
.Единичный
момент X1=1
действует на стержень CD главной части
рамы в основной системе (рисунок 4).
Поэтому изгибающий момент возникает
только на стержне CD, не распространяясь
на другие части рамы. Эпюра
представлена на рисунке 5.
Рисунок 3
Рисунок 4
Рисунок 5
2.Построение эпюры
.
Единичный момент X2 = 1 действует на стержень CB главной части рамы в основной системе и второстепенную часть рамы АС у шарнира С (рисунок 6). В начале строим эпюру для рамы АС, а затем для основной части ВСD (рисунок 7). От X2 = 1, действующей на АС определяем реакции:
Рисунок 6
При построении эпюры вначале определяются опорные реакции. Построение эпюры изгибающих моментов не вызывает затруднений. Для всей рамы эпюра представлена на рисунке 8.
=0
Рисунок 7
Рисунок 8
3.Построение эпюры
.
Единичный момент X3 = 1 действует на стержени CB и CD главной
части рамы в основной системе, не распространяясь на второстепенную часть. Поэтому изгибные деформации возникают только в стержнях CB и CD. Определяем опорные реакции в шарнирах D и B от X3= 1 (рисунок 9):
.
Эпюра изгибающих моментов представлена на рисунке 10.
Рисунок 9 Рисунок 10
4.Построение суммарной единичной эпюры.
Суммарную
единичную эпюру
строим, используя формулу:
= + +
Суммарная единичная эпюра представлена на рисунке 11.
5.Построение эпюры изгибающих моментов от внешней нагрузки Mp.
Первоначально эпюру моментов строим для второстепенной части АШС, определив предварительно опорные реакции в шарнирах А и С (рисунок 12).
Рисунок 11
Рисунок 12
;
;
; 
;
.
Учитывая, что Hс и Rс действуют на основную часть вдоль осей стержней BC и CD на этом участке изгибающий момент не будет возникать. Эпюра моментов Mp показана на рисунке 13
Рисунок 13
4.Определение коэффициентов при неизвестных Хi и их проверка.
Проверка правильности вычисления коэффициентов. Сумма коэффи-
циентов при неизвестных должна равняться результату перемножения эпюр * .
5.Определение свободных членов системы канонических уравнений и их проверка.
;
Проверка правильности вычисления свободных членов. Сумма ∑Δip
должна равняться результату перемножения эпюр Mp* .
6
.
Решение системы канонических уравнений
(Нахождение неизвест-ных
Xi)
1,667X1+0,8333X3=0
7,402X2-2,333X3-213,61=0
0,8333X1-2,333X2+4X3=0
X1=-11.82 тм; X2=36.312 тм; X3=23.644 тм.
7.Построение окончательной эпюры изгибающих моментов (для заданной системы)
Значения результирующих изгибающих моментов определяем по фор-
муле (2), приняв условное правило знаков для горизонтальных и вертикальных стержней рамы.
Окончательная эпюра моментов показана на рисунке 14.
Рисунок 14
8.Дифференциальная проверка правильности построения эпюры изгибающих моментов.
Проверка правильности построения эпюры М состоит в решение интег-
рала О. Мора
или
перемножения эпюр М и
(по
правилу Верещагина) результат, которого
должен быть равным нулю.
9.Построение эпюры поперечных сил (Q) по эпюре изгибающих мо-
ментов, используя дифференциальную зависимость между M и Q.
Правило знаков для поперечной силы. Поперечная сила считается положительной, если ось стержня рамы совмещается с касательной, проведенной к эпюре моментов на данном участке на острый угол по часовой стрелке. При построении эпюры Q положительные ординаты откладываем вверх для горизонтальных элементов и слева от оси для вертикальных элементов.
На левой стойке поперечная сила имеет нулевое значение. Следователь-
но, изгибающий момент в данном сечении имеет экстремальное значение.
Максимальное значение момента можно определить по формуле:
.
За Мнач
принимаем
момент в сечении А, который равен нулю.
Эпюра Q представлена на рисунке 15.
Рисунок 15