1.Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей

Определим момент инерции фигуры относительно какой-либо оси х₁ , (рис. 1.).

Пусть x₀ — центральная ось и момент инерции I_x0 известен. Из чертежа видно, что у₁=а+у. Следовательно,

.

Первый интеграл дает пло­щадь сечения. Второй интеграл, представляющий статический мо­мент относительно центральной оси x₀ и равен нулю.

Рисунок 1

Третий интеграл представляет собой момент инерции I_x0 фигуры

относительно оси x₀. Таким обра­зом,

. (1)

Момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями.

Из формулы [1] видно, что момент инерции относительно центральной оси меньше, чем момент инерции относительно любой нецентральной оси, параллельной центральной.

Момент инерции относительно центральной оси называется центральным моментом инерции.

2. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ СЛОЖНЫХ ФИГУР

Момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции ее составных частей:

. (2)

Это непосредственно следует из свойств определенного интеграла

,

где A=A₁+A₂+A₃+ . . . .

Таким образом, для вычисления момента инерции сложной фигуры надо разбить ее на ряд простых фигур, вычислить мо­менты инерции этих фигур и затем просуммировать эти моменты инерции.

Указанная теорема справедлива также и для центробежного момента инерции.

Моменты инерции прокатных сечений (двутавров, швелле­ров, уголков и т. д.) приводятся в таблицах сортамента.

3. Изменение моментов инерции при повороте осей

Найдем зависимость между моментами инерции относитель­но осей х, у и моментами инерции относительно осей x₁, у₁, по­вернутых на угол α, (рис. 2.). Пусть I_x>I_y и положительный угол α, отсчитывается от оси х против часовой стрелки.

Рисунок 2

Для решения поставленной задачи найдем зависимость меж­ду координатами площадки dА в исходных и повернутых осях. Из чертежа следует:

x₁=OC=OE+EC=OE+DF=ODcosα+DBsinα=xcosα+ysinα, (3)

y₁=BC=BF–DE=ycosα–xsinα. (4)

Теперь определим моменты инер­ции относительно осей x₁ и y₁

; (5)

аналогично,

, (6)

(7)

Складывая (5) и (6), получаем

I_x1+I_y1=I_x+I_y=I_p (8)

Вычитая (5) из (6), получаем

I_x1–I_y1=(I_x–I_y)cos2α–2I_xysin2α . (9)

Формула, (8) показывает, что

сумма моментов инерции относительно любых взаимно пер­пендикулярных осей не меняется при их повороте.

Формула (9) может быть использована для вычисления центробежного момента инерции относительно осей х, у по известным осевым моментам инерции относительно осей х, y и x₁, y₁.

4. ГЛАВНЫЕ ОСИ ИНЕРЦИИ И ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ

При изменении угла α I_x1 , I_y1 и I_x1y1 изменяются. Найдем значение угла, при котором I_x1, и I_y1 имеют экстремальные значе­ния. Для этого возьмем от I_x1 или I_y1 первую производную по α и приравняем ее нулю:

dI_x1 /dα= – 2I_x cosα₀sinα₀ +2 I_y cosα₀sinα₀ –2 I_xy cos2α₀=0

или

(I_y – I_x) sin2α₀ –2 I_xy cos2α₀=0

откуда

tg2α₀ =2 I_xy / (I_y – I_x) . (10)

Эта формула определяет положение двух осей, относительно одной из которых осевой момент инерции максимален, а относи­тельно другой — минимален,

Такие оси называют главными. Моменты инерции относи­тельно главных осей называются главными моментами инерции.

Значения главных моментов инерции найдем из формул (5) и (6), подставив в них α₀ формулы (10), при этом используем известные формулы тригонометрии для функ­ций двойных углов.

После преобразований получим следующую формулу для определения главных моментов инерции:

(11)

Исследуя вторую производную d²I_x1 /dα² можно установить, что для данного случая (I_x>I_y) максимальный момент инерции I_max имеет место относительно главной оси, повернутой на угол α₀ по отношению к оси х, а минимальный момент инерции — относительно другой, перпендикулярной оси. В большинстве случаев в этом исследовании нет надобности, так как по конфи­гурации сечений видно, какая из главных осей соответствует максимуму момента инерции.

Кроме формулы (9) для определения главных моментов инерции можно пользоваться также формулами (5) и (6), При этом сам собой решается вопрос: относительно какой главной оси получается максимальный момент инерции и относительно какой оси — минимальный?

Покажем теперь, что относительно главных осей центробеж­ный момент инерции равен нулю.

Действительно, приравнивая I_x1y1 по формуле (7) нулю, получаем

[(I_x–I_y)/2]sin2α₀ +I_xycos2α₀=0,

откуда для tg2α₀ вновь получается формула (10).

Таким образом, главными осями называют оси, обладающие следующими свойствами:

1. Центробежный момент инерции относительно этих осей равен нулю.

2. Моменты инерции относительно главных осей имеют эк­стремальные значении (относительно одной—максимум, отно­сительно другой — минимум).

Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями.

Во многих случаях удается сразу определить положение главных центральных осей. Если фигура имеет ось симметрии, то она является одной из главных центральных осей, вторая прохо­дит через центр тяжести сечения перпендикулярно первой. Ска­занное следует из того обстоятельства, что относительно оси симметрии и любой оси ей перпендикулярной, центробежный момент инерции равен нулю.

Используя формулы (5) — (7), можно показать, что если два главных центральных момента инерции сечения равны между собой, то у этого сечения любая центральная ось является главной и все главные центральные моменты инерции одинаковы (круг, квадрат, шестиугольник, равносторонний треугольник).

Действительно, предположим, что для какого-то сечения оси х и у — главные центральные оси и, кроме того, I_x=I_y. Тогда из формул (5) и (6) получим, что I_x=I_y=I_x1=I_y1, а из формулы (7) убедимся, что I_x1y1=0, т. е. любые оси x₁ и y₁ являются главными центральными осями инерции такой фигуры.