5. Зависимость между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки

Между изгибающим моментом, поперечной силой и интен­сивностью распределенной нагрузки легко установить опреде­ленную зависимость.

Рассмотрим балку, нагруженную произвольной нагрузкой (рис. 6). Определим поперечную силу в сечении, отстоящем от левой опоры на расстоянии . Проецируя на вертикаль силы, расположенные левее сечения, получаем

Аналогично вычислим поперечную силу в смежном сечении, расположенном на расстоянии от левой опоры:

Вычитая первое уравнение из второго, получаем , откуда

(1)

т. е. производная от поперечной силы по абсциссе сечения балки равна интенсивности распределенной нагрузки.

Рисунок 6

Вычислим теперь изгибающий момент в сечении с абсцис­сой , взяв сумму моментов сил, приложенных слева от сечения. Для этого распределенную нагрузку на участке длиной заме­няем ее равнодействующей, равной , и приложенной в середи­не участка, на расстоянии от сечения:

. (а)

Аналогично вычислим изгибающий момент в смежном сече­нии, отстоящем от левой опоры на расстоянии :

(б)

Вычитая (а) из (б), получаем приращение изгибающего момента

Выражение в скобках представляет собой поперечную си­лу . Следовательно,

откуда

(2)

т.е. производная от изгибающего момента по абсциссе сечения балки равна поперечной силе (теорема Журавского).

Взяв производную от обеих частей равенства (2), получим

(3)

т. е. вторая производная от изгибающего момента по абсциссе сечения балки равна интенсивности распределенной нагрузки.

Полученные зависимости используются главным образом при построении эпюр изгибающих моментов и поперечных сил.

На основании полученных дифференциальных зависимостей, можно сформулировать ряд основных положений, оказывающих помощь при построении эпюр поперечных сил и изгибающих моментов и позволяющих их контролировать.

1. На участке, где нет распределенной нагрузки ( ), поперечная сила постоянна, изгибающий момент изменяется по линейной зависимости, причем тангенс угла наклона эпюры равен силе .

В частном случае одновременно может быть и , тогда изгибающий момент постоянен.

2. На участке, где имеется равномерно распределенная нагрузка, поперечная сила изменяется по линейной зависимости (тангенс угла наклона эпюры равен ), а изгибающий момент – по квадратичной зависимости, у которой выпуклость обращена в сторону действия распределенной нагрузки .

Если на этом участке поперечная сила в одном из сечений равна нулю, , то изгибающий момент в этом сечении принимает экстремальное значение – максимум или минимум (здесь касательная к эпюре горизонтальна).

3. На участке, где имеется распределенная нагрузка, изменяющаяся линейным образом (например, треугольная нагрузка), поперечная сила изменяется по квадратичной зависимости, а изгибающий момент – по кубической. Выпуклость эпюры устанавливается в зависимости от характера нагружения распределенной нагрузки с использованием дифференциальной зависимости или по ряду вычисленных значений . Выпуклость эпюры обращена в сторону действия распределенной нагрузки.

4. В сечении, где приложена сосредоточенная сила , на эпюре будет скачок, равный значению этой силы и направленный в ту же сторону (при построении эпюры слева направо), а эпюра будет иметь перелом, направленный в сторону действия силы .

5. В сечении, где приложен сосредоточенный изгибающий момент на эпюре , будет скачок, равный значению момента ; на эпюре изменений не будет. При этом если сосредоточенный момент действует по ходу часовой стрелки, скачок будет вниз (при построении эпюры слева направо); и вверх, если сосредоточенный момент действует против хода часовой стрелки.

Литература

Основная

1. Беляев Н.М. Сопротивление материалов, «Наука», М., 1976г.

2. Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов, «Высшая школа», М., 1975г.

3. Васильев В.З. Краткий курс сопротивления материалов с основами теории упругости, издание «Иван Феодоров», Санкт-Петербург, 2001г.

4. Смирнов А.Ф. Сопротивление материалов, «Высшая школа» М., 1975г.

Дополнительная.

1. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов, «Наука», М., 1975г.

2. Таран В.И. Сопротивление материалов. Пособие по решению задач,

издание «Демеу»Алматы, 1992г, 204стр.

3. Качурин В.К. Сборник задач по сопротивлению материалов, «Наука», М., 1972г, 430стр.

ЛЕКЦИЯ 11

Тема: Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

План:

Пример решения РГР2.

ЛЕКЦИЯ 12

ТЕМА: ПРЯМОЙ ЧИСТЫЙ ИЗГИБ

ПЛАН:

12.1 Нормальные напряжения при чистом изгибе

12.2 Условия прочности по нормальным напряжениям