Используя формулу (1), получаем

Но так как ибо рассматривается изогнутая балка.

Следовательно,

Этот интеграл представляет собой статический момент пло­щади поперечного сечения балки относительно нейтральной оси. Он равен нулю, и, следовательно, нейтральная ось при изгибе проходит через центр тяжести сечения.

4. Уравнение обращается в тождество, так как внутренние усилия параллельны оси .

5. Уравнение дает . Используя формулу (1), получаем

Но следовательно, Интеграл представляет собой центробежный момент инерции сечения относительно осей и . Так как он равен нулю, то оси и должны быть главными осями сечения и момент должен лежать в плоскости, проходящей через одну из главных осей, что и выполняется при плоском изгибе. Из этого условия следует также, что силовая линия и нейтральная ось (нулевая линия) взаимно перпендикулярны.

6. Приравниваем нулю суммы моментов сил относительно оси

Используя формулу (1), получаем

.

Интеграл представляет собой момент инерции сечения относительно нейтральной оси .

На отсеченную часть балки может действовать не одна внешняя пара, а несколько, а также любая другая нагрузка.

В этом случае уравнение равновесия содержит алгеб­раическую сумму моментов от всех этих сил, равную изгибающе­му моменту в поперечном сечении —

Имея в виду сказанное, последнее соотношение представим в виде

(2)

откуда

(3)

Величина представляет собой кривизну нейтрально­го слоя балки.

Несколько выше было показано, что нейтральная линия поперечного сечения проходит через его центр тяжести. Следо­вательно, ось (продольная ось) балки, являющаяся геометрическим местом центров тяжести ее поперечных сечений, располо­жена в нейтральном слое. Таким образом, получаем, что выра­жение (3) определяет кривизну оси балки.

Итак, кривизна оси балки при изгибе пропорциональна изги­бающему моменту и обратно пропорциональна величине на­зываемой жесткостью балки.

Подставляя найденное значение в (1), получим важ­ную формулу

(4)

позволяющую определить нормальное напряжение в любой точ­ке поперечного сечения балки по известным изгибающему мо­менту и моменту инерции сечения.

Формула (4) вычислена для чистого изгиба.

При поперечном изгибе в поперечных сечениях балки возни­кают и нормальные, и касательные напряжения.

Возникновение касательных напряжений сопровождается появлением деформаций сдвига, в результате чего поперечные сечения балки перестают быть плоскими (гипотеза Бернулли теряет силу). Кроме того, при поперечном изгибе возникают напряжения в продольных сечениях балки, т.е. имеет место надавливание волокон друг на друга.

Более детальные исследования показывают, что, несмотря на это, формула (4) дает вполне надежные результаты и при поперечном изгибе.

2. УСЛОВИЯ ПРОЧНОСТИ ПО НОРМАЛЬНЫМ НАПРЯЖЕНИЯМ

Для обеспечения прочности балки необходимо, чтобы наи­большие растягивающие и наибольшие сжимающие напряжения при изгибе в опасном сечении, т. е. в сечении, где М имеет наи­большее значение, не превосходили соответствующих допускае­мых напряжений (рассматриваются только балки с постоянным по всей длине поперечным сечением).

Обозначим (рис. 3) – расстояние до наиболее уда­ленного от нейтральной оси растянутого волокна, — расстоя­ние до наиболее сжатого волокна. Тогда наибольшее растягива­ющее напряжение при изгибе

(5)

наибольшее сжимающее напряжение (взятое по абсолютному значению)

(6)

Для хрупких материалов (например, чугуна) допускаемые напряжения на растяжение и сжатие различны: в 3—5 раз больше , поэтому для балок из таких материалов обычно применяют сечения, не симметричные относительно нейтральной оси. При этом сечение располагают таким образом, чтобы h_t<h_с, т. е. чтобы обеспечивалось неравенство . В указанных случаях надо составлять два условия прочности:

по наибольшим растягивающим напряжениям

; (7)

по наибольшим сжимающим напряжениям

(7а)

где и — моменты сопротивления растянутого и сжатого волокон.

В формулы (7), (7,а) надо подставлять наибольшее (по абсолютному значению) значение .

Если сечение балки симметрично относительно нейтральной оси (такие сечения целесообразно применять для балок из пластичных материалов), т. е. то вместо двух формул (5) и (6) получим одну

(8)

Обозначив, получим при одинаковых допускае­мых напряжениях на растяжение и сжатие , следующее условие прочности:

(9)

Величина называется осевым моментом сопротивления или моментом сопротивления при изгибе. Момент сопротивления является геометрической характеристикой поперечного сечения балки, определяющей ее прочность при изгибе.

Значения для простейших сечений следующие:

для прямоугольника

для круга

для кольца

,

где ;

для прокатных сечений (двутавры, швеллеры и т. п.) значе­ния указаны в таблицах сортамента. Для подбора сечения балки из уравнения (9) получим зависимость

. (10)

Допускаемый изгибающий момент определяется по формуле

(11)

Найдя по этой формуле допускаемый изгибающий момент и, зная связь между и нагрузкой (по построенной эпюре ), можно определить допускаемую нагрузку.

Литература

Основная

1. Беляев Н.М. Сопротивление материалов, «Наука», М., 1976г.

2. Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов, «Высшая школа», М., 1975г.

3. Васильев В.З. Краткий курс сопротивления материалов с основами теории упругости, издание «Иван Феодоров», Санкт-Петербург, 2001г.

4. Смирнов А.Ф. Сопротивление материалов, «Высшая школа» М., 1975г.

Дополнительная

1. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов, «Наука», М., 1975г.

2. Таран В.И. Сопротивление материалов. Пособие по решению задач,

издание «Демеу»Алматы, 1992г, 204с.

3. Качурин В.К. Сборник задач по сопротивлению материалов, «Наука»,

М., 1972г, 430с.