Лекция 2 Тема: Метод сечений для определения внутренних усилий. Напряжения.

План лекции:

2.1 Деформации и перемещения.

2.2 Метод сечения для определения внутренних усилий.

2.3 Основные виды деформаций.

2.4 Напряжения

2.1 Деформации и перемещения

Все тела под действием приложен­ных к ним внешних сил в той или иной степени деформируются, т.е. изменяют свои размеры или форму либо и то и другое однов­ременно.

Изменение линейных размеров тела или его частей называется линейной, а изменение угловых размеров — угловой деформациями.

При этом увеличение раз­меров тела называется удлине­нием, а уменьшение размеров — укорочением.

Если деформации изменя­ются по объему тела, то гово­рят о деформации в данной точ­ке тела, в определенном направ­лении.

Если на поверхности тела, вблизи исследуемой точки, нане­сти весьма малый прямоугольник 1234 (рис. 5, а), то в резуль­тате деформации этот прямоугольник в общем случае Примет вид параллелограмма 1^’ 2' 3' 4' (рис. 5, б).

Рисунок 5

Длины сторон прямоугольника изменятся (увеличатся или уменьшатся), а стороны повернутся по отношению к первона­чальному положению.

Если, например, длина стороны 23 изменится на величину ∆s, то отношение

ε_ср =∆s /s

называется средней относительной деформацией (в данном случае средним удлинением) в точке 2.

При уменьшении отрезка ε в пределе получим,

где величина ε называется истинной относительной деформацией в точке 2 в направлении 23.

Изменение первоначального прямого угла между сторонами рассматриваемого прямоугольника γ=α+β будет характеризо­вать угловую деформацию (или угол сдвига) в данной точке.

Опыт показывает, что деформации, как линейные, так и угло­вые, могут после снятия нагрузки или полностью исчезнуть, или исчезнуть лишь частично (в зависимости от материала и величи­ны нагружения).

Деформации, исчезающие после разгрузки тела, называются упругими, а свойство тел принимать после разгрузки свою первоначальную форму называется упругостью.

Деформации же, сохраняемые телом и после удаления на­грузки, называются остаточными или пластическими, а свойство материалов давать остаточные деформации называется пластич­ностью.

Зная деформации тела во всех его точках и условия закреп­ления, можно определить перемещения всех точек тела, т. е. указать их положение (новые координаты) после деформа­ции. Для нормальной эксплуатации сооружения деформации его отдельных элементов должны быть, как правило, упругими, а вызванные ими перемещения не должны превосходить по величине определенных допускаемых значений. Эти условия, выраженные в форме тех или иных уравнений, называются условиями жесткости. В некоторых случаях допускаются неболь­шие пластические деформации (для конструкций из железобето­на, пластмасс и для конструкций из металла при действии высо­ких температур).

2.2 Метод сечений

Внутренние силы (силы упругости), возникающие в теле под действием нагрузки, — силы непрерывно распределенные (в со­ответствии с принятым допущением о непрерывности материала тела).

Для определения внутренних усилий (или внутренних сило­вых факторов) применяется метод сечений, заключающийся в следующем.

Для тела, находящегося в равновесии (рис. 6), в интересу­ющем нас месте мысленно делается разрез, например по а–а. Затем одна из частей отбрасывается (обычно та, к которой приложено больше сил). Взаимодействие частей друг на друга заменяется внутренними усилиями, которые уравновешивают внешние силы, действующие на отсеченную часть.

Рисунок 6

Если внешние силы лежат в одной плоскости, то для их уравновешивания необходимо в общем случае приложить в сечении три внутрен­них усилия: силу N, направленную вдоль оси стержня и называе­мую продольной силой; силу Q, действующую в плоскости попе­речного сечения и называемую поперечной силой; и момент М, плоскость действия которого перпендикулярна плоскости сечения. Этот момент возникает при изгибе стержня и называется из­гибающим моментом.

После этого составляют урав­нения равновесия для отсечен­ной части тела, из которых и оп­ределяются N, Q, M. Действи­тельно, проецируя силы, дейст­вующие на отсеченную часть, на направление оси стержня и при­равнивая сумму проекций нулю, найдем N; проецируя силы на направление, перпендикулярное оси стержня, определим Q; приравнивая нулю сумму моментов относительно какой-либо точки, определим M.

Если же внешние силы, к которым относятся также реакции опор, не лежат в одной плоскости (пространственная задача), то в поперечном сечении в общем случае могут возникать шесть внутренних усилий, являющихся компонентами главного вектора и главного момента системы внутренних сил (рис. 7); продоль­ная сила N, поперечная сила Q_y, поперечная сила Q_x и три момента: M_y, M_x и M_z, причем первые два являются изгибаю­щими, а третий М_z, действующий в плоскости сечения, называет­ся крутящим Т, так как он возникает при закручивании стерж­ня. Для определения этих шести усилий необходимо использо­вать шесть уравнений равновесия: приравнять нулю суммы проекций сил (приложенных к отсеченной части) на три оси координат и приравнять нулю суммы моментов сил относительно трех осей, имеющих начало в центре тяжести сечения.

На рис. 7 и в последующих принята правовинтовая систе­ма координат, причем ось z будем совмещать с осью стержня.

Рисунок 7

Итак, для нахождения внутренних усилий необходимо: 1) разрезать стержень или систему стержней; 2) отбросить одну часть; 3) приложить в сечении усилия, способные уравновесить внешние силы, действующие на отсеченную часть; 4) найти значения усилий из уравнений равновесия, составленных для отсеченной части.