11.2 Дозвільні граничні рівняння
Оскільки вибором рівноважної апроксимації тотожно задовольняються диференціальні рівняння рівноваги, таким чином для вирішення крайового завдання залишилося вибрати коефіцієнти апроксимацій, щоб з мінімальною погрішністю задовольнялися граничні умови(7.5)(7.6).
Для побудови дозвільних рівнянь можна використовувати різні варіаційні методи, типу методу коллокацій[17], найменших квадратів[17, 74] та ін. Проте для задач теорії пружності зручно використовувати пряму інтегральну рівність (7.16), яка зводиться до наступного:
(11.11)
У
припущенні про те, що для апроксимацій
переміщень, деформацій, напружень і
поверхневих зусиль точно виконуються
рівняння (7.1) – (7.4). Якщо функції
та
ввжати віртуальними у співвідношенні
з (7.30), то приходимо до вирішального
варіаційного рівняння:
(11.12)
Слід відмітити , що це рівняння може бути отримане як умова стаціонарності функціонала:
(11.13)
який може бути легко отриманий з функціоналу (7.32) узагальненого варіаційного принципу після врахування рівнянь (7.1)-(7.4), рівноважності апроксимацій і інтегрування по частинам.
Функціонал ( 11.13) названий в монографії[1] функціоналом граничних умов.
11.3 Рівноважний суперелемент і його базисні функції
Запишемо апроксимацію (11.2) в матричному вигляді:
(11.14)
де {а}- вектор коефіцієнтів; X (3хn) — матриця-функція. Підставимо в це співвідношення координати кожного з т граничних вузлів суперелементу, в результаті чого отримаємо систему лінійних рівнянь n-го порядку
,
(11.15)
В формулах (11.15) для простоти запису в якості аргументів функцій використовуються номери вузлів замість їхніх координат.
Після підстановки останньої формули в (11.14) приходимо до остаточного апроксимуючого вираження
(11.17)
де,
,
(11.18)
В
подальшому будемо вважати, що функція
,
в межах суперелементу точно представлена
своєю апроксимацією N{
}.
В цьому випадку вираз (11.17) можна спростити:
(11.19)
Слід відмінити відмінність базисних функцій рівноважного суперелементу і звичайного КЕ. По-перше кожна трійка базисних функцій N1r N2r, N3r задовольняє однорідним диференціальним рівнянням рівноваги. Такі базисні функції називатимемо рівноважними. По-друге відмінні компоненти переміщень, апроксимуються різними базисними функціями. По-третє, блоки [Ni] матриці базисних функцій такі, що деяка компонента переміщень визначається не лише вузловими значеннями цієї компоненти, але і вузловими значеннями інших компонент. Це неявним чином зв'язує апроксимації різних компонент переміщень, що відповідає фізиці процесу, оскільки істинні переміщення тіла взаємозв'язані диференціальними рівняннями рівноваги(11.1).
Відмітимо, що якщо використовуються описані в попередньому параграфі методи побудови рівноважних апроксимацій на основі статечних поліномів, то в апроксимації(11.19) будуть неявно враховані жорсткі зміщення і повороти суперелементу, що не викликають його деформацій. Ця вимога потрібна для збіжності розв’язків [26, 64, 70].
Після того, як визначені апроксимації для переміщень, за допомогою формул(7.2) -(7.4) можуть бути побудовані апроксимації деформацій, напруги і граничних зусиль суперелементу :
(11.20)
(11.21)
Останні співвідношення дозволяють вичислити значення вказаних величин у будь-якій внутрішній або граничній точці суперелементу на основі його граничних переміщень.